Question

等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，AB=AE，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
（1）求证：BD=CE；
（2）求证：BD⊥CE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：（1）由三角形ABC与三角形ADE都为等腰直角三角形，利用等腰三角形的性质得到两边及夹角相等，利用SAS可得出三角形ABD与三角形ACE全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）延长CE到F，交BD于点F，利用全等三角形对应角相等得到∠ACE=∠ABD，利用等腰三角形的两锐角为45°，等量代换得到CF垂直于BD，得证．

解答：证明：（1）∵△ABC与△ADE都为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，即∠DAB=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，

AD=AE ∠DAB=∠EAC AB=AC

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE；
（2）延长CE，交BD于点F，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD，
∵∠ACE+∠BCE=45°，
∴∠ABD+∠BCE=45°，
∴∠FBC+∠BCF=∠ABC+∠ABD+∠BCF=90°，
∴∠BFC=90°，
则CF⊥BD，即BD⊥CE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．