Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，点A在点B的左侧，点M为AB的中点，PQx轴交抛物线于点P，Q，点P在点Q的左侧，点Q在第一象限，以PQ，PM为邻边作PMNQ．设点P的横坐标为m．

（1）当m＝0时，求PMNO的周长；

（2）连结MQ，若MQ⊥QN时，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）4+2；（2）

【解析】

（1）根据题意求得P（0，3），Q（2，3），则PQ＝2，由勾股定理得PM长，则PMNO的周长可求出；

（2）由题意知△PQM为等腰直角三角形，P（m，﹣m2+2m+3），有Q（2﹣m，﹣m2+2m+3），则PQ＝2﹣2m，可得关于m的方程，解方程可求出m的值．

解：（1）令x＝0得，y＝3

∴P（0，3），

∵抛物线的对称轴为：直线x＝﹣，

∴M（1，0），

∵PQ∥x轴，

∴Q（2，3），即得PQ＝2，

PM＝＝，

∵PMNQ为平行四边形，

∴QN＝PM＝，MN＝PQ＝2，

∴PMNQ的周长为：QN+PM+MN+PQ＝4+2．

（2）如图，连接MQ，

∵PMNQ为平行四边形，

∴PM∥QN，

∵MQ⊥QN，

∴MQ⊥PM，

∵P，Q关于对称轴对称，

∴MP＝MQ，

∴△PQM为等腰直角三角形，

∴，

∵P（m，﹣m2+2m+3），

∴Q（2﹣m，﹣m2+2m+3），

∴PQ＝2﹣2m，

∴﹣，

解得，m2＝，

∵P在Q左侧，

∴m＝．