Question

已知直线l₁：y=3x+1与y轴交于点A，与x交于点C，直线l₂：y=mx+n交于点P（-2，a），l₁过第一、二、三象限； l₂过第一、三、四象限，
（1）求3x+1＞mx的解集；
（2）当x=3时，直线l₂表示的一次函数值恰好等于零，求直线l₂的函数解析式；
（3）若直线l₁上有一点D，使S_△BCD=S_△BCP，求点D的坐标；
（4）在x轴上找一点E，使△ABE是等腰三角形，求出点E的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据图示直接回答问题；
（2）把点P的坐标代入直线l₁后求得a的值；然后把点P和（3，0）分别代入直线l₂，联立方程组来求m、n的值；
（3）根据等式可以判定点D到x轴的距离等于点P到x轴的距离；
（4）需要分类讨论：AB=AE、AE=BE、AB=BE．

解答：解：（1）如图，∵直线l₁与直线l₂交于点P（-2，a），
∴3x+1＞mx的解集是x＞-2；

（2）∵点P（-2，a）在直线y=3x+1上，
∴a=3×（-2）+1=-5，则P（-2，-5）．
又∵当x=3时，直线l₂表示的一次函数值恰好等于零，点P在直线直线y=mx+n上，
∴

3m+n=0 -2m+n=-5

，
解得

m=1 n=-3

，
故直线l₂的函数解析式是y=3x-3；

（3）∵S_△BCD=S_△BCP，且点D在直线l₁上，P（-2，-5）．
∴点D到x轴的距离与点P到x轴的距离相等，
∴设D（t，5），
则5=3t+1，
解得 t=

4

3

．
故点D的坐标是（

4

3

，5）；

（4）由直线y=3x+1和直线y=3x-3易求得：A（0，1），B（1，0）．
则AB=

2

．
当△ABE是等腰三角形时，需要分三种情况进行讨论：
①当AB=AE时，点A在BE的垂直平分线上，则点B与点E关于y轴对称，故点E₁的坐标为（-1，0）；
②当AB=BE时，故E₂（1+

2

，0），E₃=（

2

-1，0）；
③当AE=BE时，点E与原点O重合，则E₄（0，0）．
综上所述，符合条件的点E的坐标有4个：（-1，0）、（1+

2

，0）、（

2

-1，0）或（0，0）．

点评：本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数交点问题以及等腰三角形的判定与性质．解答（4）题时，一定要分类讨论，以防漏解．