Question

7．已知点A（1，1）在抛物线y=x²上，则在x轴上的点P，且使得△OAP是等腰三角形的点P的坐标是（2，0）或（1，0）或（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0）．

Answer 1

分析 分三种情况讨论：以O为顶点；以A为顶点；以P为顶点；分别求出符合题意的点的坐标即可．

解答 解：假设存在点P，根据△OAP是等腰三角形，
∵点A（1，1），
∴OA=$\sqrt{2}$，
①OA=AP时，此时OP=1+1=2，
即P的坐标是（2，0）；
②AP=0P时，P点是OA的垂直平分线与x轴的交点，
则P的坐标为（1，0）
③OA=OP，此时符合条件的有两点P₃，P₄，OA=OP₃=OP₄=$\sqrt{2}$，
则P的坐标是（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0）；
故P点坐标为（2，0）或（1，0）或（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0）；
故答案为（2，0）或（1，0）或（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0）．

点评 此题主要考查了二次函数图象上点的性质以及等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键．