Question

2．阅读材料，解答问题：
材料：为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以视（x²-1）为一个整体．然后设x²-1=y，原方程可化为
y²-5y+4=0①．解得y₁=1，y₂=4．
当y₁=1时，x²-1=1，即x²=2，∴x=$±\sqrt{2}$．当y₂=4时，x²-1=4，即x²=5，∴x=$±\sqrt{5}$．
∴原方程的解为x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$．
这是在由原方程得到①的过程中利用换元法，达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
利用上述方法解下列方程：x⁴-x²-6=0．

Answer 1

分析 设x²=y，x⁴=y² ．则方程即可变形为y²-y-6=0，解方程即可求得y即x²的值．

解答 解：设x²=y，原方程可化为y²-y-6=0，
整理，得（y-3）（y+2）=0，
解得y₁=3，y₂=-2．
当y₁=3时，即x²=3，
∴x=±$\sqrt{3}$．
当y₂=-2时，x²=-2无解．
∴原方程的解为x₁=$\sqrt{3}$，x₂=-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代表它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．