Question

【题目】已知抛物线y=﹣x2+3x+4交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的右侧）．过点A作垂直于y轴的直线l．在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q．连接AP．

（1）写出A，B，C三点的坐标；

（2）若点P位于抛物线的对称轴的右侧：

①如果以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标；

②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在点P，使得点M落在x轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

③设AP的中点是R，其坐标是（m，n），请直接写出m和n的关系式，并写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）B（4，0），C（﹣1，0）（2）①P（，）或（7，24）②P（4，0）或（5，﹣6）③m＜0，或m＞

【解析】

试题分析：（1）先令x=0求出y的值即可得出A点坐标，再令y=0求出x的值即可得出BC两点的坐标；

（2）①分△AQP∽△AOC与△AQP∽△COA两种情况进行讨论；

②过点M作y轴的平行线交直线AQ于点E，过点P作PF⊥直线ME于点F，设Q（x，4），则P（x，﹣x2+3x+4），PQ=x2﹣3x=PM，再由△AEM∽△MFP求出PF的表达式，在Rt△AOM中根据勾股定理求出x的值，进而可得出P点坐标

③根据在位于直线l下方的抛物线上任取一点P，则有a＜0或a＞3，由点P在抛物线上即可建立m与n的关系．

试题解析：（1）∵令x=0，则y=4，

∴A（0，4）；

∵令y=0，则﹣x2+3x+4=0，解得x1=4，x2=﹣1，

∴B（4，0），C（﹣1，0）；

（2）①∵以A，P，Q三点构成的三角形与△AOC相似，

∴△AQP∽△AOC与△AQP∽△COA，

∴或，

即或，

解得x=或x=7，均在对称轴的右侧，

∴P（，）或（7，24）；

②如图所示，过点M作y轴的平行线交直线AQ于点E，过点P作PF⊥直线ME于点F，

设Q（x，4），则P（x，﹣x2+3x+4），PQ=x2﹣3x=PM，

∵∠EAM+∠EMA=90°，∠EMA+∠FMP=90°，

∴∠FMP=∠EAM．

∵∠MFP=∠AEM=90°，

∴△AEM∽△MFP，

∴．

∵MP=x2﹣3x，

∴，

∴PF=4x﹣12，

∴OM=（4x﹣12）﹣x=3x﹣12，

在Rt△AOM中，

∵OM2+OA2=AM2，即（3x﹣12）2+42=x2，解得x1=4，x2=5均在抛物线对称轴的右侧，

∴P（4，0）或（5，﹣6）．

③∵抛物线y=﹣x2+3x+4和A（0，4），

∴抛物线和直线l的交点坐标为A（0，4），（3，4），

设P（a，﹣a2+3a+4）；（a＜0或a＞3）

∵AP的中点是R，A（0，4），

∴=m，=n，

∴n=﹣2m2+3m+4，

∵a＜0或a＞3，

∴2m＜0，或2m＞3，

∴m＜0，或m＞．