Question

【题目】已知∠BAE与∠BCD互为补角，AB＝AE，CB＝CD，连接ED，点P为ED的中点．

（1）如图1，若点A，B，C三点在同一条直线上．

①求证：∠EBD＝90°；②求证：AP∥BD；

（2）如图2，若点A，B，C三点不在同一条直线上，求证：AP⊥CP．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）①设∠EAB=x，∠BCD=y，由∠BAE与∠BCD互为补角，得出x+y=180°，AE∥CD，由AE=AB，得出∠ABE=90°-x，由CB=CD，得出∠CBD=90°-y，即可得出结论；
②延长AP交CD延长线于点K，由AE∥CD，得出∠EAP=∠DKP，由AAS证得△AEP≌△KDP，得出DK=AE=AB，证得CA=CK，得出∠CAP=90°-y=∠CBD，即可得出结论；
（2）设∠EAB=x，∠BCD=y，延长AP到K，使PK=AP，连接KD，由SAS证得△AEP≌△KDP，得出KD=AE，∠EAP=∠DKP，AE∥KD，延长AB交KD于点T，延长KD交BC延长线于点H，则∠ATK=180°-∠EAB=180°-x=y，证得∠ATK=∠BCD=y，∠DCH=∠BTH，得出∠TBC=∠CDH，∠ABC=∠KDC，连接AC、KC，由SAS证得△ABC≌△KDC（SAS），得出CA=CK，即可得出结论．

（1）①设∠EAB＝x，∠BCD＝y，

∵∠BAE与∠BCD互为补角，

∴x+y＝180°，AE∥CD，

∵AE＝AB，

∴∠ABE＝90°﹣x，

∵CB＝CD，

∴∠CBD＝90°﹣y，

∴∠EBD＝180°﹣∠ABE﹣∠CBD＝180°﹣90°+x﹣90°+y＝（x+y）＝90°；

②延长AP交CD延长线于点K，如图1所示：

∵AE∥CD，

∴∠EAP＝∠DKP，

在△AEP和△KDP中，

∴△AEP≌△KDP（AAS），

∴DK＝AE＝AB，

∵CB＝CD，

∴CA＝CK，

∴∠CAP＝90°﹣y＝∠CBD，

∴AP∥BD；

（2）设∠EAB＝x，∠BCD＝y，

∵∠BAE与∠BCD互为补角，

∴x+y＝180°，

延长AP到K，使PK＝AP，连接KD，如图2所示：

在△AEP和△KDP中，

∴△AEP≌△KDP（SAS），

∴KD＝AE，∠EAP＝∠DKP，

∴AE∥KD，

延长AB交KD于点T，延长KD交BC延长线于点H，则∠ATK＝180°﹣∠EAB＝180°﹣x＝y，

∴∠ATK＝∠BCD＝y，

∴∠DCH＝∠BTH，

∵∠H＝∠H，

∴∠TBC＝∠CDH，

∴∠ABC＝∠KDC，

连接AC、KC，

在△ABC和△KDC中，

∴△ABC≌△KDC（SAS），

∴CA＝CK，

∵PA＝PK，

∴AP⊥CP．