Question

已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E．
（1）当点D在线段AB上时，如图1，线段CE、AD、AC之间的数量关系是

 

；
（2）当点D在BA的延长线上时，如图2，求证：CE=AC-AD；
（3）在（2）的条件下，∠ABC的平分线BF，交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当∠EDC=30°，CF=10，求DH的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）作DF∥BC交AC于F，证出DF=AD，证明△DFC≌△EBD，得出DF=BE，得出BE=AD，BE+BC=AD+AC，CE=AD+AC；
（2）过D作DF∥AC交BC延长线于F，证明△BDE≌△CDF，得BE=CF，∴BE=AD，∴CE=BC-BE=AC-AD；
（3）连接AF，证明△ABF≌△CBF，得AF=CF，再证明DH=AH=

1

2

CF=5；

解答：解：（1）作DF∥BC交AC于F，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠DBE=120°，
∵DF∥BC，
∴∠ADF=∠ABC=60°，
∠AFD=∠ACB=60°，∠FDC=∠DCE，
∴∠A=∠ADF=∠AFD，∠DFC=120°，
∴△ADF是等边三角形，∠DFC=∠DBE，
∴DF=AD，
∵DE=DC，
∴∠E=∠DCE，
∴∠FDC=∠E，
在△DFC和△EBD中，

∠DFC=∠DBE   ∠FDC=∠E   DC=DE

 
∴△DFC≌△EBD（AAS），
∴DF=BE，∴BE=AD，
∴BE+BC=AD+AC，CE=AD+AC；
（2）过D作DF∥AC交BC延长线于F，如图2所示：
则∠BDF=∠，BAC=60°，∠F=ACB=60°，
∴∠BDF=∠F=∠ABC，
∴BD=BF，∴AD=CF，
∵DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，
∴∠DBE=∠DCF，
在△BDE和△CDF中，

∠ABC=∠F   ∠DEB=∠DCF   DE=DC

∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴BE=CF，
∴BE=AD，
∴CE=BC-BE=AC-AD；
（3）连接AF，如图3所示：
∵DE=DC，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°-60°=15°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
在△ABF和△CBF中，

AB=BC   ∠ABF=∠CBF   BF=BF

，
△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°，
∴∠AFH=15°+15°=30°，
∵AH⊥CD，
∴AH=

1

2

AF=

1

2

CF=5，
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，
∴∠BDE=75°-60°=15°，
∴∠ADH=15°+30°=45°，
∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH=5．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法．