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【题目】如图,在Rt△ABC中,BC2,∠BAC30°,斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM,ON上滑动,下列结论: ①若C,O两点关于AB对称,则OA;②C,O两点距离的最大值为4;③若AB平分CO,则AB⊥CO;④斜边AB的中点D运动路径的长为.

其中正确的是( )

A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ①②④

【答案】D

【解析】分析:①先根据直角三角形30°的性质和勾股定理分别求ACAB,由对称的性质可知:ABOC的垂直平分线,所以
②当OC经过AB的中点E时,OC最大,则CO两点距离的最大值为4;
③如图2,当∠ABO=30°时,易证四边形OACB是矩形,此时ABCO互相平分,但所夹锐角为60°,明显不垂直,或者根据四点共圆可知:ACBO四点共圆,则AB为直径,由垂径定理相关推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,但当这条弦也是直径时,即OC是直径时,ABOC互相平分,但ABOC不一定垂直;
④如图3,半径为2,圆心角为90°,根据弧长公式进行计算即可.

详解:在RtABC,

①若C.O两点关于AB对称,如图1,

ABOC的垂直平分线,

所以①正确;

②如图1,取AB的中点为E,连接OECE

OC经过点E时,OC最大,

C.O两点距离的最大值为4;

所以②正确;

③如图2,,

∴四边形AOBC是矩形,

ABOC互相平分,

ABOC的夹角为不垂直,

所以③不正确;

④如图3,斜边AB的中点D运动路径是:以O为圆心,2为半径的圆周的

则:

所以④正确;

综上所述,本题正确的有:①②④

故选D.

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年龄x/

频数/人数

频率

20≤x30

80

b

30≤x40

a

0.240

40≤x50

35

0.175

50≤x60

37

c

合计

200

1.000

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