Question

【题目】如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F．过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．

（1）求证：△EFD为等腰三角形；

（2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）6

【解析】

（1）连接OD，只要证明∠EFD=∠EDF即可解决问题．

（2）先求得EF=1，设DE=EF=x，则OF=x+1，在Rt△ODE中，根据勾股定理求得DE=4，OE=5，根据切线的性质由AG为⊙O的切线得∠GAE=90°，再证明Rt△EOD∽Rt△EGA，根据相似三角形对应边成比例即可求得．

解：（1）证明：连接OD，

∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，

∵OC⊥AB，

∴∠COF=90°，

∴∠OCD+∠CFO=90°，

∵GE为⊙O的切线，

∴∠ODC+∠EDF=90°，

∵∠EFD=∠CFO，

∴∠EFD=∠EDF，

∴EF=ED．

（2）解：∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，

∴OF=1，

∵∠EFD=∠EDF，

∴EF=ED，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，

∵OD2+DE2=OE2，

∴32+x2=（x+1）2，解得x=4，

∴DE=4，OE=5，

∵AG为⊙O的切线，

∴AG⊥AE，

∴∠GAE=90°，

而∠OED=∠GEA，

∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴=，即=，

∴AG=6．