Question

已知AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，过点O作OE∥PB，交⊙O于点D，交PA于点E．
（1）求证：∠BDC=∠APB；
（2）若PA=8，PB=10，求线段CD的长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接AC，则可知∠ACB=90°，由PA是切线知∠PAB=90°，可得到∠BPA=∠CAB，且∠CAB=∠BDC，可得出结论；
（2）设AC交EO于点F，则可知OE⊥AC，且F为AC中点，由条件可求得CF=AF=

12

5

，再在Rt△OAF中求得OF的长，可求得DF的长，在Rt△CDF中，由勾股定理可求得CD的长．

解答：解：（1）如图，连接AC交EO于点F，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵PA为⊙的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠APB+∠CBA=90°，
∴∠APB=∠CAB，
又∵∠CDB和∠CAB为弧BC所对的圆周角，
∴∠CDB=∠CAB，
∴∠APB=∠BDC；

（2）∵OE∥PB，
∴OE⊥AC，
∴AF=FC=

1

2

AC，
∵PA=8，PB=10，
∴AB=6，
由等积法可得PA•AB=PB•AC，可求得AC=

24

5

，
∴AF=AC=

12

5

，且AO=3，
在Rt△AFO中，由勾股定理可求得OF=

9

5

，则DF=OD-OF=3-

9

5

=

6

5

，
在Rt△CDF中，由勾股定理可求得CD=

6 5

5

．

点评：本题主要考查切线的性质及圆周角定理，在（1）中找到∠APB和∠CAB及∠BDC和∠CAB之间的关系是解题的关键，在（2）中由条件得出OE⊥AC是解题的关键．