【题目】已知正方形ABCD中,点E,F分别为BC,CD上的点,连接AE,BF相交于点H,且AE⊥BF.
(1)如图1,连接AC交BF于点G,求证:∠AGF=∠AEB+45°;
(2)如图2,延长BF到点M,连接MC,若∠BMC=45°,求证:AH+BH=BM;
(3)如图3,在(2)的条件下,若点H为BM的三等分点,连接BD,DM,若HE=1,求△BDM的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)6.
【解析】
(1)根据正方形的性质得到∠ACB=∠ACD=45°,根据余角 的性质得到∠AEB=∠BFC,于是得到结论;
(2)过C作CK⊥BM于K,得到∠BKC=90°,推出四边形ABCD是正方形,根据正方形的性质得到AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,得到∠ABH=∠BCK,在△ABH根据全等三角形的性质即可得到结论;
(3)过E作EN⊥CK于N,得到四边形HENK是矩形,根据矩形的性质得到HK=EN=BH,∠BHE=∠NEC,根据全等三角形的性质得到HE=CN=NK=1,求得CK=BH=2,得到BM=6,连接CH,根据全等三角形的性质得到BH=DM=2,∠BHC=∠DMC=135°.求得∠DMB=90°,于是得到结论.
(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠ACB=∠ACD=45°,
∵AE⊥BF,
∴∠AEB+∠FBC=90°,
∵∠FBC+∠BFC=90°,
∴∠AEB=∠BFC,
∵∠AGF=∠BFC+∠ACF,
∴∠AGF=∠AEB+45°.
(2)过C作CK⊥BM于K,
∴∠BKC=∠AHB=90°,
∵∠BMC=45°,
∴CK=MK,
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,
∴∠ABH=∠BCK,
∴△ABH≌△BCK(AAS),
∴BH=CK=MK,AH=BK,∴BM=BK+MK=AH+BH.
(3)由(2)得,BH=CK=MK,∵H为BM的三等分点,
∴BH=HK=KM,
过E作EN⊥CK于N,∴四边形HENK是矩形,
∴HK=EN=BH,∠BHE=∠ENC,∴△BHE≌△ENC(ASA),
∴HE=CN=NK=1,∴CK=BH=2,
∴BM=6,
连接CH,
∵HK=MK,CK⊥MH,∠BMC=45°,∴CH=CM,∠MCH=90°,
∴∠BCH=∠DCM,∴△BHC≌△DMC(SAS),
∴BH=DM=2,∠BHC=∠DMC=135°,
∴∠DMB=90°,
∴△BDM的面积为DM·BM=6.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点E,连接EF.
(1)四边形ABEF是_______;(选填矩形、菱形、正方形、无法确定)(直接填写结果)
(2)AE,BF相交于点O,若四边形ABEF的周长为40,BF=10,则AE的长为________,∠ABC=________°.(直接填写结果)
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【题目】如图,下列4个三角形中,均有AB=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是( )
A. ①③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
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【题目】作出函数的图象,并利用图象回答问题:
(1)写出图象与轴的交点A的坐标________,与轴的交点B的坐标________.
(2)当时,的取值范围是______________.
(3)有一点C的坐标是(3,4),顺次连接点A、B、C得到△ABC,三角形ABC的面积为________.
(4)点C关于轴对称的点D的坐标
(5)连接B,D两点,求直线BD的函数关系式.
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【题目】在数学兴趣小组的活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2的正方形AEFG按图①位置放置,AD与AE在同一直线上,AB与AG在同一直线上.
⑴小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由.
⑵如图②,小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.
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【题目】在ΔABC中,AB>BC,AB=AC,DE是AB的垂直平分线,垂足为D点,交AC于点E.
(1)若∠ABE=40°,求∠EBC的度数;
(2)若ΔABC的周长为41cm,一边为15cm,求ΔBCE的周长.
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【题目】(7分)如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;
(2)当0<x<3时,求y的取值范围;
(3)点P为抛物线上一点,若S△PAB=10,求出此时点P的坐标.
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