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【题目】如图1,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不与M、C重合),以AB为直径作⊙O,过点P作⊙O的切线,交AD于点F,切点为E.

(1)求证:OF∥BE;
(2)设BP=x,AF=y,求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)延长DC、FP交于点G,连接OE并延长交直线DC于H(图2),问是否存在点P,使△EFO∽△EHG(E、F、O与E、H、G为对应点)?如果存在,试求(2)中x和y的值;如果不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

证明:连接OE

FE、FA是⊙O的两条切线

∴∠FAO=∠FEO=90°

在Rt△OAF和Rt△OEF中,

∴Rt△FAO≌Rt△FEO(HL),

∴∠AOF=∠EOF= ∠AOE,

∴∠AOF=∠ABE,

∴OF∥BE


(2)

解:过F作FQ⊥BC于Q

∴PQ=BP﹣BQ=x﹣y

PF=EF+EP=FA+BP=x+y

∵在Rt△PFQ中

∴FQ2+QP2=PF2

∴22+(x﹣y)2=(x+y)2

化简得: ,(1<x<2)


(3)

解:存在这样的P点,

理由:∵∠EOF=∠AOF,

∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF,

当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时,

即∠EOF=30°时,Rt△EFO∽Rt△EHG,

此时Rt△AFO中,

y=AF=OAtan30°=

∴当 时,△EFO∽△EHG


【解析】(1)首先证明Rt△FAO≌Rt△FEO进而得出∠AOF=∠ABE,即可得出答案;(2)过F作FQ⊥BC于Q,利用勾股定理求出y与x之间的函数关系,根据M是BC中点以及BC=2,即可得出BP的取值范围;(3)首先得出当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时,即∠EOF=30°时,Rt△EFO∽Rt△EHG,求出y=AF=OAtan30°= ,即可得出答案.

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