Question

【题目】在中，，，过点作直线，将绕点顺时针旋转得到（点的对应点分别为），射线分別交直线于点.

（1）如图，当与重合时，求的度数；

（2）如图，设与的交点为，当为的中点时，求线段的长；

（3）在旋转过程中，当点分别在的延长线上时，试探究四边形的面积是否存在最小值.若存在，求出四边形的最小面积；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）,见解析.

【解析】

1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC=，依据∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；
（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PB=,BC=，依据tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，进而得出PQ=PB+BQ=；
（3）依据S四边形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四边形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用几何法或代数法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B′Q=3-．

解：⑴由旋转可得：，∵∴，

∵，，∴，∴，∴，∴；

⑵∵为的中点，∴，由旋转可得，，∴，

∴，∴，∵，

∴，

∴，∴；

⑶∵，∴最小，即最小，

∴，取的中点，∵，∴，即，

当最小时，最小，∴，即与重合时，最小，

∴，∴的最小值=3，；