【题目】在中,
,
,过点
作直线
,将
绕点
顺时针旋转得到
(点
的对应点分别为
),射线
分別交直线
于点
.
(1)如图,当与
重合时,求
的度数;
(2)如图,设与
的交点为
,当
为
的中点时,求线段
的长;
(3)在旋转过程中,当点分别在
的延长线上时,试探究四边形
的面积是否存在最小值.若存在,求出四边形
的最小面积;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
,见解析.
【解析】
1)由旋转可得:AC=A'C=2,进而得到BC=,依据∠A'BC=90°,可得cos∠A'CB=
,即可得到∠A'CB=30°,∠ACA'=60°;
(2)根据M为A'B'的中点,即可得出∠A=∠A'CM,进而得到PB=,BC=
,依据tan∠Q=tan∠A=
,即可得到BQ=BC×
=2,进而得出PQ=PB+BQ=
;
(3)依据S四边形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-,即可得到S四边形PA'B′Q最小,即S△PCQ最小,而S△PCQ=
PQ×BC=
PQ,利用几何法或代数法即可得到S△PCQ的最小值=3,S四边形PA'B′Q=3-
.
解:⑴由旋转可得:,∵
∴
,
∵,
,∴
,∴
,∴
,∴
;
⑵∵为
的中点,∴
,由旋转可得,
,∴
,
∴,∴
,∵
,
∴,
∴,∴
;
⑶∵,∴
最小,即
最小,
∴,取
的中点
,∵
,∴
,即
,
当最小时,
最小,∴
,即
与
重合时,
最小,
∴,∴
的最小值=3,
;
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【题目】如图,在菱形ABCD中,按以下步骤作图:①分别以点C和点D为圆心,大于为半径作弧,两弧交于点M,N;②作直线MN,且
恰好经过点A,与CD交于点E,连接BE,则下列说法错误的是( )
A.B.
C.若AB=4,则
D.
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【题目】已知菱形ABCD与线段AE,且AE与AB重合.现将线段AE绕点A逆时针旋转180°,在旋转过程中,若不考虑点E与点B重合的情形,点E还有三次落在菱形ABCD的边上,设∠B=α,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,抛物线与
轴交于
,
两点,与
轴交于点
,点
与点
关于
轴对称.
(1)求点,
,
的坐标;
(2)求直线的解析式;
(3)在直线下方的抛物线上是否存在一点
,使
的面积最大?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】学校开展“书香校园”活动以来,受到同学们的广泛关注,学位为了解全校学生课外阅读的情况,随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数,并制成如下不完整的统计图表.
请你根据统计图表中的信息,解答下列问题:
(1)=___________,
=_____________;
(2)该调查统计数据的中位数是_________,众数是__________;
(3)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数;
(4)若该校共有2000名学生,根据调查结果,估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数.
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【题目】学校开展“书香校园”活动以来,受到同学们的广泛关注,学校为了解全校学生课外阅读的情况,随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数,并制成如图不完整的统计表.
学生借阅图书的次数:
借阅图书的次数 | 0次 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次以上 |
人数 | 7 | 13 | 10 | 3 |
请你根据统计图表中的信息,解答下列问题:
(1)____________,
____________;
(2)该调查统计数据的中位数是___________次;
(3)扇形统计图中,“3次”所对应扇形的圆心角的度数是____________;
(4)若该校共有2000名学生,根据调查结果,估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.了解全国中学生最喜爱哪位歌手,适合全面调查.
B.甲乙两种麦种,连续3年的平均亩产量相同,它们的方差为:S甲2=5,S乙2=0.5,则甲麦种产量比较稳.
C.某次朗读比赛中预设半数晋级,某同学想知道自己是否晋级,除知道自己的成绩外,还需要知道平均成绩.
D.一组数据:3,2,5,5,4,6的众数是5.
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【题目】某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动,在活动中他们参与了某种水果的销售工作.已知该水果的进价为8元/千克,下面是他们在活动结束后的对话.
小丽:如果以10元/千克的价格销售,那么每天可售出300千克.
小强:如果每千克的利润为3元,那么每天可售出250千克.
小红:如果以13元/千克的价格销售,那么每天可获取利润750元.
【利润=(销售价-进价)销售量】
(1)请根据他们的对话填写下表:
销售单价x(元/kg) | 10 | 11 | 13 |
销售量y(kg) |
(2)请你根据表格中的信息判断每天的销售量y(千克)与销售单价x(元)之间存在怎样的函数关系.并求y(千克)与x(元)(x>0)的函数关系式;
(3)设该超市销售这种水果每天获取的利润为W元,求W与x的函数关系式.当销售单价为何值时,每天可获得的利润最大?最大利润是多少元?
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