Question

【题目】如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．求S关于t的函数表达式；并求S最大时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）在直线l上存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，点M的坐标为（1，6）；（3）S＝﹣t2+t，当t ＝时，S有最大值，此时P（，）

【解析】

（1）把点A、B坐标代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法求解即可；

（2）先求出C、D坐标，假设直线l上存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，根据平行四边形性质，求出点P坐标，进而求出点M坐标；

（3）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，求出直线BC解析式，表示出线段PF长，根据即可得到S关于t的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．

解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

，解得：，

∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，

∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴抛物线的对称轴为直线x＝1．

当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，

∴点C的坐标为（0，3）．

若四边形CDPM是平行四边形，则CE＝PE，DE＝ME，

∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，

∴点P的横坐标t＝1×2﹣0＝2，

∴点P的坐标为（2，3），

∴点E的坐标为（1，3），

∴点M的坐标为（1，6）．

故在直线l上存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，点M的坐标为（1，6）．

（3）在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．

设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），

将B（3，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，

，解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．

∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），

∴点F的坐标为（t，﹣t+3），

∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，

∴ ，

∴当t ＝时，S有最大值，此时P（，）．