【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2-2x+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点A、B的坐标分别为(-1,0),(3,0),点D为抛物线的顶点,抛物线的对称轴与直线BC相交于点E.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点,当△PBC的面积最大时,请求出P点的坐标和△PBC的最大面积;
(3)点Q是线段BD上的一动点,将△DEQ沿边EQ翻折得到△,是否存在点Q使得△与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形?若存在,请直接写出BQ的长,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=x2-2x-3,C(0,-3); (2)△PBC的最大面积为, P;(3)或或.
【解析】
(1)将点A(-1,0)、B(3,0)代入抛物线解析式可求出a,c的值,得到抛物线的解析式,令x=0可求出c的坐标;
(2)直线BC解析式为:y=x-3,设与直线BC平行且在BC下方的一条直线l解析式为y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,△PBC的面积最大,联立解析式,求出当时x的值,即为P点横坐标,再根据分割面积法求出此时;
(3)根据(1)中解析式可得:D(1,-4),直线x=1交x轴于F,BD=,然后分情况讨论,分别求出BQ的长即可.
解:(1)将点A(-1,0)、B(3,0)代入抛物线解析式y=ax2-2x+c可得:
,解得:,
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3,
当x=0时,y=-3,所以C的坐标为C(0,-3);
(2)∵B(3,0),C(0,-3),可得直线BC解析式为:y=x-3,
设与直线BC平行且在BC下方的一条直线l解析式为y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,△PBC的面积最大,
联立解析式,
可得,
整理得:,
∴,解得:b=,
即,解得:x=,将x=代入抛物线解析式可得,
所以P,
如图1,过点P作PM⊥y轴于M,∴M(0,),
∴
∴△PBC的最大面积为
(3)根据(1)中解析式可得:D(1,-4),直线x=1交x轴于F,BD=,
分类讨论:
①如图3,EQ⊥DB于Q,△DEQ沿边EQ翻折得到△D’EQ,
∵∠EDQ=∠BDF,
∴Rt△DEQ∽Rt△DBF,
∴,即,
解得DQ=,
∴BQ=BDDQ=
②如图4, ED′⊥BD于H,
∵∠EDH=∠BDF,
∴Rt△DEH∽Rt△DBF,
∴,即,
解得DH=,EH=,
在Rt△QHD′中,设QH=x,D′Q=DQ=DHHQ=
,D′H=D′EEH=DEEH=2,
∴,解得x=1,
∴BQ=BDDQ=BD(DHHQ)=BDDH+HQ=,;
③如图5,D′Q⊥BC于G,作EI⊥BD于I,易得EI=,BI=,
∵△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ,
∴∠EQD=∠EQD′,
∴EG=EI=,
∵BE=,
∴BG=BEEG=
∵∠GBQ=∠IBE,
∴△BQG∽△BEI,
∴,即
∴BQ=
综上所述,当BQ为或或时,将△DEQ沿边EQ翻折得到△D′EQ,使得△D′EQ与△BEQ的重叠部分图形为直角三角形.
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【题目】在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2.
(1)y关于x的函数关系式是________, x的取值范围是________;
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象;
(3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点,请求出此时a的值.
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【题目】国家和地方政府为了提高农民种粮的积极性,每亩地每年发放种粮补贴120元.种粮大户老王今年种了150亩地,计划明年再承租50~150亩土地种粮以增加收入,考虑各种因素,预计明年每亩种粮成本y(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系如图所示.
(1)今年老王种粮可获得补贴_____________元;
(2)求y与x之间的函数关系式;
(3)若老王明年每亩的售粮收入能达到2100元,设老王明年种粮利润为w(元).(种粮利润=售粮收入-种粮成本+种粮补贴)
①求老王明年种粮利润w(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系式;
②当种粮面积为多少亩时,老王明年种粮利润最高?
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=∠CAB.
(1)求证:直线BF是⊙O的切线;
(2)若AB=5,sin∠BAD=,求AD的长;
(3)试探究FB、FD、FA之间的关系,并证明.
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【题目】随着通讯技术迅猛发展,人与人之间的沟通方式更多样、便捷.常德市五中487班小玥组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种),在全校范围内随机调查了部分学生,将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给的信息解答下列问题:
(1)这次统计共抽查了 名学生;
(2)在扇形统计图中,表示“QQ”的扇形圆心角的度数为 度;
(3)将条形统计图补充完整;
(4)该校共有1500名学生,请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名?
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【题目】在某校开展的“好书伴我成长”课外阅读活动中,为了解八年级学生的课外阅读情况,随机抽查部分学生,并对其课外阅读量进行统计分析,绘制成图1、图2两幅尚不完整的统计图,请根据图中信息,解答下列问题:
(1)求被抽查的学生人数及课外阅读量的平均数;
(2)求扇形统计图中的值;
(3)根据样本数据,估计该校八年级800名学生在本次活动中课外阅读量多于2本的人数.
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【题目】小王、小张和小梅打算各自随机选择本周六的上午或下午去高邮湖的湖上花海去踏青郊游.
(1)小王和小张都在本周六上午去踏青郊游的概率为_______;
(2)求他们三人在同一个半天去踏青郊游的概率.
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【题目】如图,已知点D、E分别在△ACD的边AB和AC上,已知DE∥BC,DE=DB.
(1)请用直尺和圆规在图中画出点D和点E(保留作图痕迹,不要求写作法),并证明所作的线段DE是符合题目要求的;
(2)若AB=7,BC=3,请求出DE的长.
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