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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax22x+c的图象与x轴交于AB两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点AB的坐标分别为(10)(30),点D为抛物线的顶点,抛物线的对称轴与直线BC相交于点E.

1)求抛物线的解析式和点C的坐标;

2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点,当△PBC的面积最大时,请求出P点的坐标和△PBC的最大面积;

3)点Q是线段BD上的一动点,将△DEQ沿边EQ翻折得到,是否存在点Q使得BEQ的重叠部分图形为直角三角形?若存在,请直接写出BQ的长,若不存在,请说明理由.

【答案】1yx22x3C(0,-3) 2△PBC的最大面积为 P;(3.

【解析】

1)将点A(10)B(30)代入抛物线解析式可求出ac的值,得到抛物线的解析式,令x=0可求出c的坐标;

2)直线BC解析式为:y=x-3,设与直线BC平行且在BC下方的一条直线l解析式为y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,PBC的面积最大,联立解析式,求出当x的值,即为P点横坐标,再根据分割面积法求出此时

3)根据(1)中解析式可得:D(1-4),直线x=1x轴于FBD=,然后分情况讨论,分别求出BQ的长即可.

解:(1)将点A(10)B(30)代入抛物线解析式yax22x+c可得:

,解得:

∴抛物线的解析式为yx22x3

x=0时,y=-3,所以C的坐标为C0-3);

2)∵B(30)C0-3),可得直线BC解析式为:y=x-3

设与直线BC平行且在BC下方的一条直线l解析式为y=x+b,当直线l与抛物线只有一个交点时,PBC的面积最大,

联立解析式

可得

整理得:

,解得:b=

,解得:x=,将x=代入抛物线解析式可得

所以P

如图1,过点PPMy轴于M,∴M(0,)

∴△PBC的最大面积为

3)根据(1)中解析式可得:D(1-4),直线x=1x轴于FBD=

分类讨论:

①如图3EQDBQDEQ沿边EQ翻折得到D’EQ

∵∠EDQ=∠BDF

RtDEQRtDBF

,即

解得DQ

BQBDDQ

②如图4 ED′BDH

∵∠EDH=∠BDF

RtDEHRtDBF

,即

解得DHEH

RtQHD′中,设QHxD′QDQDHHQ

D′HD′EEHDEEH2

,解得x1

BQBDDQBDDHHQ)=BDDHHQ,

③如图5D′QBCG,作EIBDI,易得EIBI

∵△DEQ沿边EQ翻折得到D′EQ

∴∠EQD=∠EQD′

EGEI

BE

BGBEEG

∵∠GBQ=∠IBE

∴△BQG∽△BEI

,即

BQ

综上所述,当BQ时,将DEQ沿边EQ翻折得到D′EQ,使得D′EQBEQ的重叠部分图形为直角三角形.

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2)求yx之间的函数关系式;

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