Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，已知，P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）．

（1）求抛物线和直线l的解析式；

（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值；

（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），直线l的表达式为：；（2）最大值：18；（3）存在，P的坐标为：或或或.

【解析】

（1）将点A、D的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；

（2），即可求解；

（3）分NC是平行四边形的一条边、NC是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可．

解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，

故直线l的表达式为：，

将点A、D的坐标代入抛物线表达式，

同理可得抛物线的表达式为：；

（2）直线l的表达式为：，则直线l与x轴的夹角为，

即：则，

设点P坐标为、则点，

，故有最大值，

当时，其最大值为18；

（3），

①当NC是平行四边形的一条边时，

设点P坐标为、则点，

由题意得：，即：，

解得或0或4（舍去0），

则点P坐标为或或；

②当NC是平行四边形的对角线时，

则NC的中点坐标为，

设点P坐标为、则点，

N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，

即：，

解得：或（舍去0），

故点；

故点P的坐标为：或或或．