Question

5．利用图形面积可以证明乘法公式，也可以解释代数中恒等式的正确性．
（1）首先请同学们观察用硬纸片拼成的图形（如图1），根据图形的面积，写出它能说明的乘法公式（a+b）²=a²+2ab+b²；
（2）请同学们观察用硬纸片拼成的图形（如图2），根据图形的面积关系，写出一个代数恒等式．

Answer 1

分析 （1）图中可以得出，大正方形的边长为a+b，大正方形的面积就为（a+b）²，2个矩形的边长相同，且长为a，宽为b，则2个矩形的面积为2ab，空白的是两个正方形，较大的正方形的边长为a，面积等于a²，小的正方形边长为b，面积等于b²，大正方形面积减去2个阴影矩形的面积就等于空白部分的面积．
（2）图中可以得出，大正方形的边长为a+b，大正方形的面积就为（a+b）²，4个矩形的边长相同，且长为a，宽为b，则4个矩形的面积为4ab，中间空心的正方形的边长为a-b，面积等于（a-b）²，大正方形面积减去4个阴影矩形的面积就等于中间空白部分的面积．

解答 解：（1）∵阴影部分都是全等的矩形，且长为a，宽为b，
∴2个矩形的面积为2ab，
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形面积为（a+b）²，
∴空白正方形的面积为a²和b²，
∴（a+b）²=a²+2ab+b²．
故答案为（a+b）²=a²+2ab+b²．
（2）∵四周阴影部分都是全等的矩形，且长为a，宽为b，
∴四个矩形的面积为4ab，
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形面积为（a+b）²，
∴中间小正方形的面积为（a+b）²-4ab，
∵中间小正方形的面积也可表示为：（a-b）²，
∴（a-b）²=（a+b）²-4ab．

点评 本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键．