Question

【题目】阅读下面材料，完成后面题目．
0°-360°间的角的三角函数
在初中，我们学习过锐角的正弦、余弦、正切和余切四种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，那么sinA=，cosA=，tanA=，cotA=
为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义：
设有一个角α，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴ox，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，点P和原点（0，0）的距离为r=（r总是正的），然后把角α的三角函数规定为：sinα=，cosα=，tanα=，cotα=

我们知道，图1的四个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，而与点P在角α的终边位置无关．
比较图1与图2，可以看出一个角的三角函数的意义的两种规定实际上是一样的，根据第二种定义回答下列问题．
（1）若90°＜α＜180°，则角α的三角函数值sinα、cosα、tanα、cotα，其中取正值的是哪几个？
（2）若角α的终边与直线y=2x重合，求sinα+cosα的值．
（3）若角α是钝角，其终边上一点P（x，），且cosα=x，求tanα的值．
（4）若0°≤α≤90°，求sinα+cosα的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）sinα；（2）或；（3）；（4）1≤sinα+cosα≤．

【解析】

（1）由点P（x，y）在第二象限，推出x＜0，y＞0，根据sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，即可判断；

（2）分两种情形讨论即可解决问题；

（3）如图2中，作PE⊥x轴于E．想办法求出OE的长，根据三角函数的定义即可解决问题；

（4）当α=0°或90°时，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，当α=45°时，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，由此即可解决问题.

（1）∵点P（x，y）在第二象限，

∴x＜0，y＞0，

∵sinα=，cosα=，tanα=，cotα=，

∴sinα＞0，cosα＜0，tanα＜0，cotα＜0，

∴取取正值的是sinα．

（2）如图1中，

①当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于E．设OE=a，则PE=2a，OP=a，

∴sinα+cosα=．

②当点P在第三象限时，作PE⊥x轴于E．设OE=a，则PE=2a，OP=a，

∴sinα+cosα=．

综上所述，sinα+cosα=或．

（3）如图2中，作PE⊥x轴于E．

由题意PE=，cosα=，

∴OP=2，

∴OE=，

∴tanα=．

（4）当α=0°或90°时，得到sinα+cosα的最小值sinα+cosα=1，

当α=45°时，得到sinα+cosα的最大值，sinα+cosα=，

∴1≤sinα+cosα≤．