【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(1,0),交y轴于点C,点P是该抛物线上一动点,点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与A重合),过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值;
(3)△APD能否构成直角三角形?若能,请直接写出所有符合条件的点P坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1)y=x2-4x+3;(2)点P在运动的过程中,线段PD长度的最大值为;(3)能,点P的坐标为:(1,0)或(2,-1).
【解析】
(1)把点A、B的坐标代入抛物线解析式,解方程组得到b、c的值,即可得解;
(2)求出点C的坐标,再利用待定系数法求出直线AC的解析式,再根据抛物线解析式设出点P的坐标,然后表示出PD的长度,再根据二次函数的最值问题解答;
(3)分情况讨论①∠APD是直角时,点P与点B重合,②求出抛物线顶点坐标,然后判断出点P为在抛物线顶点时,∠PAD是直角,分别写出点P的坐标即可;
(1)把点A(3,0)和点B(1,0)代入抛物线y=x2+bx+c,
得:
解得
∴y=x2-4x+3.
(2)把x=0代入y=x2-4x+3,得y=3.
∴C(0,3).
又∵A(3,0),
设直线AC的解析式为:y=kx+m,
把点A,C的坐标代入得:
∴直线AC的解析式为:y=-x+3.
PD=-x+3- (x2-4x+3)=-x2+3x=+
.
∵0<x<3,
∴x=时,PD最大为
.
即点P在运动的过程中,线段PD长度的最大值为.
(3)①∠APD是直角时,点P与点B重合,
此时,点P(1,0),
②∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线的顶点坐标为(2,﹣1),
∵A(3,0),
∴点P为在抛物线顶点时,∠PAD=45°+45°=90°,
此时,点P(2,﹣1),
综上所述,点P(1,0)或(2,﹣1)时,△APD能构成直角三角形;
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【题目】如图,点P是正方形ABCD内的一点,连接CP,将线段CP绕点C顺时针旋转90°,得到线段CQ,连接BP,DQ.
(1)、如图a,求证:△BCP≌△DCQ;
(2)、如图,延长BP交直线DQ于点E.
①如图b,求证:BE⊥DQ;
②如图c,若△BCP为等边三角形,判断△DEP的形状,并说明理由.
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【题目】张老师将自己2019年10月至2020年5月的通话时长(单位:分钟)的有关数据整理如下:
①2019年10月至2020年3月通话时长统计表
时间 | 10月 | 11月 | 12月 | 1月 | 2月 | 3月 |
时长(单位:分钟) | 520 | 530 | 550 | 610 | 650 | 660 |
②2020年4月与2020年5月,这两个月通话时长的总和为1100分钟根据以上信息,推断张老师这八个月的通话时长的中位数可能的最大值为( )
A.550B.580C.610D.630
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上两点,且,连接OC,BD,OD.
(1)求证:OC垂直平分BD;
(2)过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E,连接AD,CD.
①依题意补全图形;
②若AD=6,,求CD的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,正方形的顶点坐标分别为
(1,1),
(1,-1),
(-1,-1),
(-1,1),
轴上有一点
(0,2).作点
关于点
的对称点
,作点
关于点
的对称点
,作点
关于点
的对称点
,作点
关于点
的对称点
,作点
关于点
的对称点
,作点
关于点
的对称点
,……,按此操作下去,则
的坐标为_____.
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【题目】如图,大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁,一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向,该海轮向正东方向航行8海里到达点B处,这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向.如果海轮继续向正东方向航行,会有触礁的危险吗?试说明理由.(参考数据:≈1.73)
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【题目】如图,AB 是⊙O 的弦,半径OE⊥ AB ,P 为 AB 的延长线上一点,PC 与⊙O相切于点 C,连结 CE,交 AB 于点 F,连结 OC.
(1)求证:PC=PF.
(2)连接 BE,若∠CEB=30°,半径为 8,tan P ,求 FB 的长.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.打开电视,它正在播天气预报是不可能事件
B.要考察一个班级中学生的视力情况适合用抽样调查
C.抛掷一枚均匀的硬币,正面朝上的概率是,若抛掷10次,就一定有5次正面朝上.
D.甲、乙两人射中环数的方差分别为,
,说明乙的射击成绩比甲稳定
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【题目】如图是某款篮球架的示意图,支架AC与底座BC所成的∠ACB=65°,支架AB⊥BC,篮球支架HE∥BC,且篮板DF⊥HE于点E,已知底座BC=1米,AH=米,HF=
米,HE=1米.
(1)求∠FHE的度数;
(2)已知该款篮球架符合国际篮联规定的篮板下沿D距地面2.90米的规定,求DE的长度.(参考数据:sin65°≈0.91,cos65°≈0.42,tan65°≈2.41,≈1.41)
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