【题目】△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AB=8cm,动点P、Q以2cm/s的速度分别从点A、B同时出发,点P沿A到B向终点B运动,点Q沿B到A向终点A运动,过点P作PD⊥AC于点D,以PD为边向右侧作正方形PDEF,过点Q作QG⊥AB,交折线BC﹣CA于点G与点C不重合,以QG为边作等腰直角△QGH,且点G为直角顶点,点C、H始终在QG的同侧,设正方形PDEF与△QGH重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<4).
(1)当点F在边QH上时,求t的值.
(2)点正方形PDEF与△QGH重叠部分图形是四边形时,求S与t之间的函数关系式;
(3)当FH所在的直线平行或垂直AB时,直接写出t的值.
【答案】(1)t=s;(2)见解析;(3)t=s或s或s.
【解析】
(1)如图1中,当点F在边QH上时,易知AP=PQ=BQ,求出AB的长即可解决问题;
(2)分两种情形①如图2中,当点F在GQ上时,易知AP=BQ=2t,PD=PF=t.PQ=QF=t,列出方程即可解决问题;②如图3中,重叠部分是四边形GHRT时;
(3)分三种种情形求解①如图5中,当FH⊥AB时,延长HF交AB于T,易知AP=BQ=GQ=HG=TQ=2t,PT=t;②如图7中,当FH⊥AB时;分别列出方程即可解决问题.③如图8中,当HF∥AB时;
解:(1)如图1中,当点F在边QH上时,易知AP=PQ=BQ,
∵Rt△ABC中,AB=8,
∴ts时,点F在边QH上.
(2)如图2中,当点F在GQ上时,易知AP=BQ=2t,PD=PF=t.PQ=PF=t,
∴2t+t+2t=8,
∴t,
由(1)可知,当时,正方形PDEF与△QGH重叠部分图形是四边形
此时
如图3中,当H在EF上时,则有
解得t,
如图4中,当G与D重合时,易知4t﹣8=t,解得t.
当 时,
(3)①如图5中,当FH⊥AB时,延长HF交AB于T,易知AP=BQ=GQ=HG=TQ=2t,PT=t,
∴6t+t=8,
∴t=.
②如图7中,当HF⊥AB于T时,
∵TB=8﹣2(8﹣2t)=8﹣3t,解得t=,
③如图8中,当HF∥AB时,∴t+2t=8,
∴t=,
综上所述,t=s或s或s时,FH所在的直线平行或垂直于AB.
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【题目】设θ为直角三角形的一个锐角,给出θ角三角函数的两条基本性质:①tanθ=;②cos2θ+sin2θ=1,利用这些性质解答本题.已知cosθ+sinθ=,求值:
(1)tanθ+; (2)|cosθ-sinθ|.
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【题目】某小区业主委员会决定把一块长50m,宽30m的矩形空地建成健身广场,设计方案如图所示,阴影区域为绿化区(四块绿化区为全等的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14m,不大于26m,设绿化区较长边为xm,活动区的面积为ym2
(1)直接写出:①用x的式子表示出口的宽度为 ;
②y与x的函数关系式及x的取值范围 ;
(2)求活动区的面积y的最大面积;
(3)预计活动区造价为50元/m2,绿化区造价为40元/m2,如果业主委员会投资不得超过72000元来参与建造,当x为整数时,共有几种建造方案?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线分别交两坐标轴于A、B两点,直线y=-2x+2分别交两坐标轴于C、D两点
(1)求A、B、C、D四点的坐标
(2)如图1,点E为直线CD上一动点,OF⊥OE交直线AB于点F,求证:OE=OF
(3)如图2,直线y=kx+k交x轴于点G,分别交直线AB、CD于N、M两点.若GM=GN,求k的值
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为(4,6)、(5,4),且AB平行于x轴,将矩形ABCD向左平移,得到矩形A′B′C′D′.若点A′、C′同时落在函数的图象上,则k的值为( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【题目】已知:如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,与△ABC的外接圆交于点D,AC与BD相交于点F.
(1)求证:DB=DC;
(2)若DA=DF,求证:△BCF∽△BDC.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,∠DBC=45°,DE⊥BC于E,BF⊥CD于F,DE、BF相交于H,BF、AD的延长线交于P.下面结论:
①,②∠A=∠BHE,③AB=BH,④△BHD∽△BDP.
请你把你认为正确的结论的番号都填上 (填错一个该题得0分)
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【题目】已知O为坐标原点,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A(x1,0),B(x2,0),与y轴交于点C,且O,C两点间的距离为3,x1x2<0,|x1|+|x2|=4,点A,C在直线y2=﹣3x+t上.
(1)当y1随着x的增大而增大时,求自变量x的取值范围;
(2)将抛物线y1向左平移n(n>0)个单位,记平移后y随着x的增大而增大的部分为P,直线y2向下平移n个单位,当平移后的直线与P有公共点时,求2n2﹣5n的最小值.
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【题目】已知,关于的分式方程.
(1)当,时,求分式方程的解;
(2)当时,求为何值时分式方程无解:
(3)若,且、为正整数,当分式方程的解为整数时,求的值.
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