Question

已知，如图，D为△ABC的边BC的中点，O为AD上的任一点，CD的延长线交AB于点E，BD的延长线交AC于点F，求证：EF∥BC．

Answer 1

考点：平行线分线段成比例

专题：证明题

分析：根据三角形面积公式易得S_△ABD=S_△ACD，S_△BOD=S_△COD，把它们相减即可得到S_△ABO=S_△ACO，再计算

AE

BE

=

S△ACE

S△BCE

=

S△AOE

S△BOE

，利用比例的性质得

AE

BE

S△AOC

S△BOC

，同理可得

AF

CF

=

S△AOB

S△BOC

，则

AE

BE

=

AF

CF

，然后根据如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边得到结论．

解答：证明：∵D为△ABC的边BC的中点，
∴BD=CD，
∴S_△ABD=S_△ACD，S_△BOD=S_△COD，
∴S_△ABO=S_△ACO，
∵

AE

BE

=

S△ACE

S△BCE

=

S△AOE

S△BOE

=

S△ACE-S△AOE

S△BCE-S△BOE

=

S△AOC

S△BOC

，
同理可得

AF

CF

=

S△AOB

S△BOC

，
∴

AE

BE

=

AF

CF

，
∴EF∥BC．

点评：本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．