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【题目】如图,等边三角形的边长为4为边上一点,过点,交于点,在右侧作等边三角形,记的距离为的距离为

(1),试求线段的长,并求m1m2的值.

(2),用含的代数式表示,,并求在∠C的平分线上时x的值.

【答案】(1)DE=m1=m2=0(2),当的平分线上时x=1.

【解析】

(1)过点,则 ,延长DP交AC于点G,由题意可得:△BED、△DFPDGC、均为30°的直角三角形,由可得 ,由等边三角形可得,故 由于 ,可得

2)由(1)得当点P在三角形ABC内部时,

①当 时,点P在三角形ABC内部, 此时,同(1)中的思路;②当 时,点P在三角形ABC一边上,同(1)可知

③当时,点P在三角形ABC外部时,过点,则 , DP与AC交于点G. 由题意可得:△BED、△DFPDGC、均为30°的直角三角形可得,由等边三角形可得,故

DC=BC-BD=4-x可得 ,故;当的平分线上时,此时在三角形内部 ,有 列出方程 求解即可;

解:(1)如下图,过点,则 ,延长DP交AC于点G.

DEBC,∠EDP=60°,

∴∠PDC=30°,

∵∠C=60°,

∴∠DGC=180°-PDC-C=90°,

,∠B=60°,∠BDE=90°,

,∠PDC=30°,PFBC

且∠C=60°,PG⊥AC,

(2)(1)得当点P在三角形ABC内部时,

①当 时,点P在三角形ABC内部,同(1)如下图,

(1)可证∠DGC=90°,

,∠B=60°,∠BDE=90°,

,∠PDC=30°,PFBC

DC=BC-BD=4-x

且∠C=60°,PG⊥AC,

②当 时,点P在三角形ABC一边上,

(1)可知

③当时,点P在三角形ABC外部,

如下图,过点,则 , DP与AC交于点G.

(1)可证∠DGC=90°,

BD=x,∠B=60°,∠BDE=90°,

,∠PDC=30°,PFBC

DC=BC-BD=4-x

且∠C=60°,PG⊥AC,

综上所述,

的平分线上时,易知在三角形内部 ,有

解得 x=1;

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