【题目】如图,等边三角形的边长为4,为边上一点,过点作,交于点,在右侧作等边三角形,记到的距离为,到的距离为,
(1)若,试求线段的长,并求m1、m2的值.
(2)若,用含的代数式表示,,并求在∠C的平分线上时x的值.
【答案】(1)DE=,m1=,m2=0;(2),,当在的平分线上时x=1.
【解析】
(1)过点作,则 ,延长DP交AC于点G,由题意可得:△BED、△DFP、DGC、均为30°的直角三角形,由可得 ,由等边三角形可得,故 由于 ,可得 故;
(2)由(1)得当点P在三角形ABC内部时,;
①当 时,点P在三角形ABC内部, 此时,同(1)中的思路;②当 时,点P在三角形ABC一边上,同(1)可知,,
③当时,点P在三角形ABC外部时,过点做,则 , DP与AC交于点G. 由题意可得:△BED、△DFP、DGC、均为30°的直角三角形可得,由等边三角形可得,故,
由DC=BC-BD=4-x可得 ,故;当在的平分线上时,此时在三角形内部 ,有 列出方程 求解即可;
解:(1)如下图,过点作,则 ,延长DP交AC于点G.
∵DE⊥BC,∠EDP=60°,
∴∠PDC=30°,
∵∠C=60°,
∴∠DGC=180°-∠PDC-∠C=90°,
∴,
∵ ,∠B=60°,∠BDE=90°,
∴,
∵ ,∠PDC=30°,PF⊥BC,
∴,
∵,
且∠C=60°,PG⊥AC,
∴,
∴;
(2)由(1)得当点P在三角形ABC内部时,,
①当 时,点P在三角形ABC内部,同(1)如下图,
同(1)可证∠DGC=90°,
∴,
∵,∠B=60°,∠BDE=90°,
∴,
∵ ,∠PDC=30°,PF⊥BC,
∴,
∵DC=BC-BD=4-x,
且∠C=60°,PG⊥AC,
∴,
∴,
②当 时,点P在三角形ABC一边上,
同(1)可知,,
③当时,点P在三角形ABC外部,
如下图,过点做,则 , DP与AC交于点G.
同(1)可证∠DGC=90°,
∴,
∵BD=x,∠B=60°,∠BDE=90°,
∴,
∵,∠PDC=30°,PF⊥BC,
∴,
∵DC=BC-BD=4-x,
且∠C=60°,PG⊥AC,
∴,
∴,
综上所述,,
当在的平分线上时,易知在三角形内部 ,有,
即 ,
解得 x=1;
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线相交于点D,DE⊥AB交AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,现有下列结论:①DE=DF;②DE+DF=AD;③AM平分∠ADF;④AB+AC=2AE;其中正确的有( )
A.个B.个C.个D.个
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【题目】如图,为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离,某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点,测得∠ACB=15°,∠ACD=45°,若l1、l2之间的距离为50m,则A、B之间的距离为( )
A. 50m B. 25m C. (50﹣)m D. (50﹣25)m
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【题目】已知:如图,CD=BE,DG⊥BC于点 G,EF⊥BC于点 F,且 DG=EF.
(1)求证:△DGC≌△EFB.
(2)连结 BD,CE. 求证:BD=CE
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【题目】如图,在等边△ABC中,线段AM为BC边上的高,D是AM上的点,以CD为一边,在CD的下方作等边△CDE,连结BE.
(1)填空:∠ACB=____;∠CAM=____;
(2)求证:△AOC≌△BEC;
(3)延长BE交射线AM于点F,请把图形补充完整,并求∠BFM的度数;
(4)当动点D在射线AM上,且在BC下方时,设直线BE与直线AM的交点为F.∠BFM的大小是否发生变化?若不变,请在备用图中面出图形,井直接写出∠BFM的度数;若变化,请写出变化规律.
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【题目】如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,2)且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中﹣1<x1<0.1<x2<2.下列结论:4a+2b+c<0;2a+b<0;b2+8a>4ac;
a<﹣1;其中结论正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=36°时,求∠DEF的度数.
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【题目】作图与设计:
在图1和图2中,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.
(1)在图1中以格点为顶点画一个三角形,使三角形三边长分别为,,4;
(2)在图2中以格点为顶点画一个面积为10的正方形;
(3)在图3的正方形网格中建立平面直角坐标系,若各顶点的坐标分别为:,,,请你作,使和关于轴对称.
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