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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=BD.点E、F分别在AB、AD上,且AE=DF.连接BFDE相交于点G连接CGBD相交于点H.下列结论:①△AED≌△DFB; ②S四边形BCDG=CG2;③DE=CG;④AF=2DF,则BG=6GF.其中正确的结论_____________

【答案】1 2 4

【解析】分析:(1)由已知条件易得∠A=∠BDF=60°,结合BD=AB=AD,AE=DF,即可证得△AED≌△DFB,从而说明结论正确;(2)由已知条件可证点B、C、D、G四点共圆,从而可得∠CDN=∠CBM,如图,过点CCM⊥BF于点M,过点CCN⊥ED于点N,结合CB=CD即可证得△CBM≌△CDN,由此可得S四边形BCDG=S四边形CMGN=2SCGN,在Rt△CGN中,由∠CGN=∠DBC=60°,∠CNG=90°可得GN=CG,CN=CG,由此即可求得SCGN=CG2,从而可得结论是正确的;(3)由已知易得△ADE中,∠AED>∠A=60°,从而可得AD>DE;在△DCG中,∠CDG>∠CGD=60°,从而可得CG>DC;结合AD=CD即可得到CG>DE,从而说明结论错误;(4)过点FFK∥ABDE于点K,由此可得△DFK∽△DAE,△GFK∽△GBE,结合AF=2DF和相似三角形的性质即可证得结论成立.

详解

(1)∵四边形ABCD是菱形,BD=AB,

∴AB=BD=BC=DC=DA,

∴△ABD△CBD都是等边三角形

∴∠A=∠BDF=60°,

∵AE=DF,

∴△AED≌△DFB,即结论正确;

(2)∵△AED≌△DFB,△ABD和△DBC是等边三角形,

∴∠ADE=∠DBF,∠DBC=∠CDB=∠BDA=60°,

∴∠GBC+∠CDG=∠DBF+∠DBC+∠CDB+∠GDB=∠DBC+∠CDB+∠GDB+∠ADE=∠DBC+∠CDB+∠BDA=180°,

B、C、D、G四点共圆,

∴∠CDN=∠CBM,

如下图,过点CCM⊥BF于点M,过点CCN⊥ED于点N,

∴∠CDN=∠CBM=90°,

∵CB=CD,

∴△CBM≌△CDN,

∴S四边形BCDG=S四边形CMGN=2SCGN

Rt△CGN中,∠CGN=∠DBC=60°,∠CNG=90°

∴GN=CG,CN=CG,

∴SCGN=CG2

∴S四边形BCDG=2SCGN,=CG2即结论是正确的;

(3)∵在△ABD是等边三角形,

∴∠A=60°,∠AED>∠ABD=60°,

∴∠AED>∠A,

∴DE<AD,

同理△DGC:∠GDC>∠DGC,

∴CG>CD,

∵AD=CD,

∴DE<CG,即结论错误

(4)如下图,过点FFK∥ABDE于点K,

∴△DFK∽△DAE,△GFK∽△GBE,

∵AF=2DF,

∵AB=AD,AE=DF,AF=2DF,

∴BE=2AE,

∴BG=6FG,即结论成立.

综上所述本题中正确的结论是

故答案为:①②④.

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20

13

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