Question

【题目】已知：如图，∠EOF=60°，在射线OE上取一点A，使OA=10cm，在射线OF上取一点B，使OB=16cm．以OA、OB为邻边作平行四边形OACB．若点P在射线OF上，点Q在线段CA上，且CQ：OP=1：2．设CQ=a（a＞0）．

（1）连接PQ，当a=2时，求线段PQ的长度．

（2）若以点P、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求a的值．

（3）连接PQ，以PQ所在的直线为对称轴，作点C关于直线PQ的对称点C'，当点C′恰好落在平行四边形OACB的边上或者边所在的直线上时，直接写出a的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或16；（3）7或14-2或12．

【解析】

（1）如图1，作辅助线，构建直角三角形，计算PM和MQ的长，利用勾股定理可得PQ的长；

（2）分两种情况：

①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形，

②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形，

分别根据PB=CQ列方程可得结论；

（3）存在三种情况：①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，

②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R，

③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、CC'、C'Q，

分别根据对称性和直角三角形的性质列方程可得结论．

解：（1）如图1，过A作AN⊥OB于N，过B作BD⊥AC于D，过Q作QM⊥OF于M，则AN∥BD∥MQ，

Rt△AON中，∠AOB=∠EOF=60°，OA=10，

∴ON=OA=5，AN=5，

同理得：CD=5，BD=5，

∵四边形OACB是平行四边形，

∴OB∥AC，

∴MQ=BD=5，

当a=2时，CQ=2，OP=4，

∴BM=DQ=5-2=3，

∴PM=PB+BM=16-4+3=15，

Rt△PMQ中，由勾股定理得：PQ===10（cm）；

（2）分两种情况：

①当P在边OB上时，如图2，四边形PBCQ是平行四边形，

∴PB=CQ，

即16-2a=a，

a=；

②当P在OB的延长线上时，如图3，四边形BPCQ是平行四边形，

∴PB=CQ

即2a-16=a，

a=16，此时Q与A重合，

综上，a的值为或16；

（3）分三种情况：

①如图4，当C'在边AC上时，PQ⊥AC，过B作BD⊥AC于D时，则BD∥PQ，

∴PB=QD，

16-2a=a-5，

3a=21，

a=7；

②如图5，当C'在边OB上时，连接PC、CC'、C'Q，过C作CR⊥OP于R，

∵C与C'关于PQ对称，

∴PQ是CC'的垂直平分线，

∴PC=PC'，CQ=C'Q，

∴∠PCC'=∠PC'C，

∵AC∥OP，

∴∠PC'C=∠QCC'，

∴∠QCC'=∠PCC'，

∵CC'⊥PQ，

∴PC=CQ=a，

∵OP=2a，

∴BP=2a-16，

Rt△BCR中，∠CBR=60°，

∴∠BCR=30°，

∵BC=10，

∴BR=5，CR=5，

∴PR=5-（2a-16）=21-2a，

由勾股定理得：，

a=14+2（舍）或14-2；

③如图6，当C'在直线CB上时，连接PC、PC'、C'Q，

Rt△PBR中，∠PBR=60°，

∴∠BPR=30°，

∵PB=2a-16，

∴BR=BP=a-8，

同理得：CR=CQ=a，

∵BC=BR+CR，

∴a-8+a=10，a=12，

综上，a的值为7或14-2或12．