Question

13．如图，小明作图如下：
（1）用量角器作∠MAN=36°；
（2）以A为圆心适当长为半径作圆弧，分别交AM，AN于B，C两点，连结BC；
（3）以B为圆心适当长为半径作圆弧，分别交AB，BC于E，F两点，再分别以E，F为圆心大于$\frac{1}{2}$EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点K，连结BK并延长交AC于点D．
若AD=a，则由以上作图可得AB为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a
• B． $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$a
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}a$
• D． $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$a

Answer 1

分析 由作法得∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠ACB=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，易得AD=DB=BC=a，可证明△BCD∽△ABC，利用相似比得到$\frac{a}{AB}$=$\frac{AB-a}{a}$，整理得AB²-a•AB-a²=0，然后解方程即可得到AB的长．

解答 解：由作法得∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-36°）=72°，
∵∠ABD=∠CBD=36°
∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∵∠A=∠ABD，∠BDC=∠ACB，
∴DA=DB，DB=CB，
∴AD=DB=BC=a，
易得△BCD∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{CD}{BC}$，即$\frac{a}{AB}$=$\frac{AB-a}{a}$，
∴AB²-a•AB-a²=0，
∴AB=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$a．
故选C．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了相似三角形的判定与性质．