Question

4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上，连接
DF．
（1）求证：AC=AE；
（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；
（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系：AB=AF+2EB．

Answer 1

分析 （1）先过点D作DE⊥AB于E，由于DE⊥AB，那么∠AED=90°，则有∠ACB=∠AED，联合∠CAD=∠BAD，AD=AD，利用AAS可证．
（2）由△ACD≌△AED，证得DC=DE，然后根据S_△ACB=S_△ACD+S_△ADB即可求得DE．
（3）由AC=AE，CF=BE，根据AB=AE+EB，AC=AF+CF即可证得．

解答 解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°，
在△ACD和△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠BAD}\\{∠C=∠AED}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED（AAS），
∴AC=AE．
（2）∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∴△ABC的面积等于24，
由（1）得：△ACD≌△AED，
∴DC=DE，
∵S_△ACB=S_△ACD+S_△ADB，
∴S_△ACB=$\frac{1}{2}$AC•CD+$\frac{1}{2}$AB•DE，
又∵AC=8，AB=10，
∴24=$\frac{1}{2}$×8×CD+$\frac{1}{2}$AB•DE
∴DE=$\frac{8}{3}$；
（3）∵AB=AE+EB，AC=AE，
∴AB=AC+EB，
∵AC=AF+CF，CF=BE
∴AB=AF+2EB．
故答案为：AB=AF+2EB．

点评 本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．