Question

17．如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连结DE，若DE：AC=3：5，四边形ABCD的面积为32，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析 根据翻折的性质可得CE=BC，∠BAC=∠CAE，再求出AD=CE，设AE、CD相交于点F，然后利用“角角边”证明△ADF和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DF，然后求出AC∥DE，判断出△ACF和△DEF相似，根据相似三角形对应边成比例可得$\frac{EF}{CF}=\frac{DE}{AC}$=$\frac{3}{5}$，设EF=3k，CF=5k，利用勾股定理列式求出CE，再求出CD，根据矩形的对边相等求出AD、AB，然后代入矩形面积公式计算即可．

解答 解：∵矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，
∴CE=BC，∠BAC=∠CAE，
∵矩形对边AD=BC，
∴AD=CE，
设AE、CD相交于点F，
在△ADF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADF=∠CEF=90°}\\{∠AFD=∠CFE}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴EF=DF，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACF，
又∵∠BAC=∠CAE，
∴∠ACF=∠CAE，
∴AF=CF，
∴AC∥DE，
∴△ACF∽△DEF，
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{ED}{AC}=\frac{3}{5}$，
设EF=3k，CF=5k，
由勾股定理得CE=$\sqrt{（5k）^{2}-（3k）^{2}}$=4k，
∴AD=BC=CE=4k，
又∵CD=DF+CF=3k+5k=8k，
∴AB=CD=8k，
∵四边形ABCD面积=32，
∴4k•8k=32，
∴k²=1，
∵k＞0，
∴k=1，
∴AD=4，AB=8，
∴四边形ABCD周长=2（4+8）=24．

点评 本题考查了翻折变换的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合题难度较大，求出△ACF和△DEF相似是解题的关键，也是本题的难点．