Question

如图，已知动点A在函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，延长CA至点D，使AD=AB，延长BA至点E，使AE=AC．直线DE分别交x轴，y轴于点P，Q，当QE：DP=9：4，且图中阴影部分的面积等于13时，k的值是

 

．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义

专题：计算题

分析：作EM⊥y轴于M，DN⊥x轴于N，如图，设A点坐标为（a，b），则AC=AE=a，AB=AD=b，先证明Rt△QME∽Rt△DNP，利用相似比表示出PN=

4

9

a，QM=

9

4

b，再证明△QME∽△QCD，利用相似比得到

9 4 b

9 4 b+a

=

a

a+b

，则a²=

9

4

b²，然后根据

1

2

a²+

1

2

b²=13，可得到

9

4

b²+b²=26，解得b=2

2

，再计算出a的值，最后利用k=ab求解．

解答：解：作EM⊥y轴于M，DN⊥x轴于N，如图，设A点坐标为（a，b），则AC=AE=a，AB=AD=b，
∵ME∥OP，
∴∠QEM=∠DPN，
∴Rt△QME∽Rt△DNP，
∴

QM

DN

=

ME

PN

=

QE

DP

=

9

4

，
∴PN=

4

9

a，QM=

9

4

b，
∵ME∥CD，
∴△QME∽△QCD，
∴

QM

QC

=

ME

CD

，即

9 4 b

9 4 b+a

=

a

a+b

，
∴a²=

9

4

b²，
∴图中阴影部分的面积等于13时，∵图中阴影部分的面积等于13，即

1

2

a²+

1

2

b²=13，
∴

9

4

b²+b²=26，解得b=2

2

，
∴a²=

9

4

×8=18，解得a=3

2

，
∴k=ab=3

2

×2

2

=12．
故答案为12．

点评：本题考查了反比例函数y=

k

x

（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=

k

x

（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了相似三角形的判定与性质．