Question

如图，直线y=2x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且AB=BM，点N（a，1）在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上．
（1）求k的值；
（2）求点N关于x轴的对称点N′的坐标；
（3）在x轴的正半轴上存在一点P，是的PM+PN的值最小，请求出点P的坐标；
（4）在y轴的正半轴上是否也存在一点Q，使得QM+QN的值最小？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）先确定B（0，2），由于BO∥MH，且AB=BM，则OB为△AHM的中位线，则MH=2BO=4，再利用点M在直线y=2x+2上可求出点M的坐标为（1，4），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可得到k=4；
（2）先利用点N（a，1）是反比例函数y=

4

x

（x＞0）图象上的点得到a=4，则N点坐标为（4，1），再根据关于x轴对称的点的坐标特征可得点N′的坐标为（4，-1）；
（3）如图1，连接M N′，交x轴的正半轴于点P，利用两点之间线段最短可判定此时PM+PN的值最小，接着利用待定系数法求出直线M N′的解析式为y=-

5

3

x+

17

3

，然后计算函数值为0时的自变量的值即可得到点P的坐标；
（4）与（3）一样的方法求解．

解答：解：（1）当x=0时，y=2x+2=2，则B（0，2），
∵BO∥MH，且AB=BM，
∴MH=2BO=4，
∴M点的纵坐标为4，
当y=4时，2x+2=4，解得x=1，
∴点M的坐标为（1，4），
又∵M在反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上，
∴k=1×4=4；
（2）∵点N（a，1）是反比例函数y=

4

x

（x＞0）图象上的点，
∴a=4，
∴N点坐标为（4，1），
∵点N关于x轴的对称点为点N′，
∴点N′的坐标为（4，-1）；
（3）如图1，连接M N′，交x轴的正半轴于点P，
∵PN=PN′，
∴PM+PN=PM+PN′=MN′，
∴此时PM+PN的值最小．
设直线MN′的解析式为y=kx+b，
把M（1，4），N′（4，-1）代入得

k+b=4 4k+b=-1

，解得

k=- 5 3 b= 17 3

，
∴直线M N′的解析式为y=-

5

3

x+

17

3

，
当y=0时，-

5

3

x+

17

3

=0，解得x=

17

5

，
∴点P的坐标为（

17

5

，0）；
（4）存在．
作M点关于y轴的对称点C，连结NC交y轴于Q，如图，则C（-1，4），此时QM+QN的值最小，
设直线NC的解析式为y=mx+n，
把C（-1，4）、N（4，1）分别代入得

-m+n=4 4m+n=1

，解得

m=- 3 5 n= 17 5

，
∴直线NC的解析式为y=-

3

5

x+

17

5

，
当x=0时，y=-

3

5

x+

17

5

=

17

5

，
∴点Q的坐标为（0，

17

5

）．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和关于坐标轴对称的点的坐标特征；会利用待定系数法求一次函数解析式；运用两点之间线段最短解决最短路径问题．