Question

【题目】如图，过正方形的顶点，且与相切于点分别交于两点，连接并延长交于点．

（1）求证

（2）连接交于点，连接，若求的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）根据⊙O与BC相切于点M，可得∠BMN=90°，得四边形ABCD是正方形，再根据垂径定理即可证明AN=DN；

（2）解法一：接DE，EF，DG，可得DE是⊙O的直径，且四边形AEFD是矩形，由（1）知四边形ABMN是矩形，设OA=r，则ON=8-r，AN=4，在Rt△AON中，根据勾股定理可得r的值，然后由∠BFE=∠EDG，得sin∠BFE=sin∠EDG，进而可得EG的长；

解法二：连接由圆周角定理可得是的直径，且四边形是矩形，由（1）知四边形ABMN是矩形，设OA=r，则ON=8-r，AN=4，在Rt△AON中，根据勾股定理可得r的值，由圆内接四边形性质求得，从而利用AA定理求得，从而利用相似三角形的性质列比例式求解即可．

解： 与边相切与点,

四边形是正方形，

由垂径定理得

解法一：连接

,

是的直径，且四边形是矩形.

由知四边形是矩形，

设，在中

由勾股定理得，解得

，

，

即

解法二：连接

是的直径，且四边形是矩形，

由知四边形是矩形，

设，在中，

由勾股定理得，解得

即

．