【题目】已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB∥CD, ACB =90°, AB=10cm, BC=8cm, OD 垂直平分 A C.点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P作 PE⊥AB,交 BC 于点 E,过点 Q 作 QF∥AC,分别交 AD, OD 于点 F, G.连接 OP,EG.设运动时间为 t ( s )(0<t<5) ,解答下列问题:
(1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上?
(2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ,求 S 与 t 的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由;
(4)连接 OE, OQ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE⊥OQ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
,
;(3)
时,
取得最大值;(4)
时,
.
【解析】
(1)当点E在∠BAC的平分线上时,因为EP⊥AB,EC⊥AC,可得PE=EC,由此构建方程即可解决问题.
(2)根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+(S△OPC+S△PCE-S△OEC)构建函数关系式即可.
(3)利用二次函数的性质解决问题即可.
(4)证明∠EOC=∠QOG,可得tan∠EOC=tan∠QOG,推出,由此构建方程即可解决问题.
(1)在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=10cm,BC=8cm,
∴AC==6(cm),
∵OD垂直平分线段AC,
∴OC=OA=3(cm),∠DOC=90°,
∵CD∥AB,
∴∠BAC=∠DCO,
∵∠DOC=∠ACB,
∴△DOC∽△BCA,
∴,
∴,
∴CD=5(cm),OD=4(cm),
∵PB=t,PE⊥AB,
易知:PE=t,BE=
t,
当点E在∠BAC的平分线上时,
∵EP⊥AB,EC⊥AC,
∴PE=EC,
∴t=8-
t,
∴t=4.
∴当t为4秒时,点E在∠BAC的平分线上.
(2)如图,连接OE,PC.
S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+(S△OPC+S△PCE-S△OEC)
=
=.
(3)存在.
∵,
∴t=时,四边形OPEG的面积最大,最大值为
.
(4)存在.如图,连接OQ.
∵OE⊥OQ,
∴∠EOC+∠QOC=90°,
∵∠QOC+∠QOG=90°,
∴∠EOC=∠QOG,
∴tan∠EOC=tan∠QOG,
∴,
∴,
整理得:5t2-66t+160=0,
解得或10(舍弃)
∴当秒时,OE⊥OQ.
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【题目】(1)如图1,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点O作直线EF⊥BD,且交AD于点E,交BC于点F,连接BE,DF,且BE平分∠ABD.
①求证:四边形BFDE是菱形;
②直接写出∠EBF的度数.
(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究,如图2,G,I分别在BF,BE边上,且BG=BI,连接GD,H为GD的中点,连接FH,并延长FH交ED于点J,连接IJ,IH,IF,IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系,并说明理由;
(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究,如图3,矩形ABCD满足AB=AD时,点E是对角线AC上一点,连接DE,作EF⊥DE,垂足为点E,交AB于点F,连接DF,交AC于点G.请直接写出线段AG,GE,EC三者之间满足的数量关系.
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【题目】如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,OE=OF.
(1)求证:△BOE≌△DOF;
(2)若BD=EF,连接DE、BF,判断四边形EBFD的形状,并说明理由.
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【题目】如图,线段 AB 经过⊙O 的圆心, AC , BD 分别与⊙O 相切于点 C ,D .若 AC =BD = 4 ,∠A=45°,则弧CD的长度为( )
A.πB.2πC.2πD.4π
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【题目】如图,在□ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O ,点 E , F 分别为 OB , OD 的中点,延长 AE 至 G ,使 EG =AE ,连接 CG .
(1)求证: △ABE≌△CDF ;
(2)当 AB 与 AC 满足什么数量关系时,四边形 EGCF 是矩形?请说明理由.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦BC=6cm,AC=8cm.若动点P以2cm/s的速度从B点出发沿着B→A的方向运动,点Q以1cm/s的速度从A点出发沿着A→C的方向运动,当点P到达点A时,点Q也随之停止运动.设运动时间为t(s),当△APQ是直角三角形时,t的值为___________.
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【题目】我市某中学学生会在开展“厉行勤俭节约,反对铺张浪费”的主题教育活动中,在全校范围内随机抽取了若干名学生就某日晚饭浪费饭菜情况进行调查,调查内容分为四种:A.饭和菜全部吃完;B.有剩饭但菜吃完;C.饭吃完但菜有剩;D.饭和菜都有剩.学生会根据统计结果,绘制了如下统计表:根据所给信息,回答下列问题:
选项 | 频数 | 频率 |
A | 36 | m |
B | n | 0.2 |
C | 6 | 0.1 |
D | 6 | 0.1 |
(1)统计表中:m=______;n=______.
(2)该中学有1800名学生晚饭在校就餐,根据调查结果,估计当天晚饭有多少人能够把饭和菜全部吃完?
(3)为了对同学们浪费的行为进行纠正,校学生会从饭和菜都有剩的甲、乙、丙、丁四名同学中任取2位同学进行批评教育,请用列表法或树状图法求恰好抽到甲和丁的概率.
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【题目】一座隧道的截面由抛物线和长方形的构成,长方形的长为8米,宽为2米,隧道的最高点P位于AB的中央且距地面6m.
(1)建立适当的直角坐标系,求抛物线解析式;
(2)如果隧道为单行道,一辆货车高4米,宽3米,能否从隧道内通过,说明理由.
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