Question

【题目】已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD， ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP，EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5） ，解答下列问题：

（1）当 t 为何值时，点 E 在 BAC 的平分线上？

（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ，；（3）时，取得最大值；（4）时，.

【解析】

（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE=EC，由此构建方程即可解决问题．

（2）根据S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）构建函数关系式即可．

（3）利用二次函数的性质解决问题即可．

（4）证明∠EOC=∠QOG，可得tan∠EOC=tan∠QOG，推出，由此构建方程即可解决问题．

（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10cm，BC=8cm，

∴AC==6（cm），

∵OD垂直平分线段AC，

∴OC=OA=3（cm），∠DOC=90°，

∵CD∥AB，

∴∠BAC=∠DCO，

∵∠DOC=∠ACB，

∴△DOC∽△BCA，

∴，

∴，

∴CD=5（cm），OD=4（cm），

∵PB=t，PE⊥AB，

易知：PE=t，BE=t，

当点E在∠BAC的平分线上时，

∵EP⊥AB，EC⊥AC，

∴PE=EC，

∴t=8-t，

∴t=4．

∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．

（2）如图，连接OE，PC．

S四边形OPEG=S△OEG+S△OPE=S△OEG+（S△OPC+S△PCE-S△OEC）

=

=．

（3）存在．

∵，

∴t=时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．

（4）存在．如图，连接OQ．

∵OE⊥OQ，

∴∠EOC+∠QOC=90°，

∵∠QOC+∠QOG=90°，

∴∠EOC=∠QOG，

∴tan∠EOC=tan∠QOG，

∴，

∴，

整理得：5t2-66t+160=0，

解得或10（舍弃）

∴当秒时，OE⊥OQ．