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【题目】如图,抛物线x轴交于AB,与y轴交于点C02),直线经过点AC.

1)求抛物线的解析式;

2)点P为直线AC上方抛物线上一动点;

①连接PO,交AC于点E,求的最大值;

②过点PPFAC,垂足为点F,连接PC,是否存在点P,使△PFC中的一个角等于∠CAB2倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)①有最大值1;②(23)或(

【解析】

1)根据自变量与函数值的对应关系,可得AC点坐标,根据代定系数法,可得函数解析式;

2)①根据相似三角形的判定与性质,可得,根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得二次函数,根据二次函数的性质,可得答案;

②根据勾股定理的逆定理得到ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,取AB的中点D,求得D0),得到DA=DC=DB=,过Px轴的平行线交y轴于R,交ACG,情况一:如图,∠PCF=2BAC=DGC+CDG,情况二,∠FPC=2BAC,解直角三角形即可得到结论.

1)当x=0时,y=2,即C02),

y=0时,x=4,即A40),

AC点坐标代入函数解析式,得

解得

抛物线的解析是为

2)过点Px轴做垂线,交直线AC于点M,交x轴于点N

∵直线PNy轴,

∴△PEMOEC

x=0代入y=-x+2,得y=2,即OC=2

设点Px-x2+x+2),则点Mx-x+2),

PM=-x2+x+2--x+2=-x2+2x=-x-22+2

=

0x4,∴当x=2时,=有最大值1

②∵A40),B-10),C02),

AC=2BC=AB=5

AC2+BC2=AB2

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,取AB的中点D

D0),

DA=DC=DB=

∴∠CDO=2BAC

tanCDO=tan2BAC=

Px轴的平行线交y轴于R,交AC的延长线于G

情况一:如图

∴∠PCF=2BAC=PGC+CPG

∴∠CPG=BAC

tanCPG=tanBAC=

Pa-a2+a+2),

PR=aRC=-a2+a

a1=0(舍去),a2=2

xP=2-a2+a+2=3P23

情况二,∴∠FPC=2BAC

tanFPC=

FC=4k

PF=3kPC=5k

tanPGC=

FG=6k

CG=2kPG=3k

RC=kRG=kPR=3k-k=k

a1=0(舍去),a2=

xP=-a2+a+2=,即P),

综上所述:P点坐标是(23)或().

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(2)通过计算说明一次函数y=kx+3-3k(k≠0)的图像一定经过点C;

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1)填空:

A110),A230),A3      ),An      );

B02),B114),B2      ),Bn1      );

2)求线段AnBn1的长.

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