Question

7．如图，O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC=120°，则∠DOE=60°；若∠AOC=140°，则∠DOE=70°；
（2）若∠AOC=α，则∠DOE=$\frac{1}{2}α$（用含α的式子表示），请说明理由；
（3）在∠AOC的内部有一条射线OF，满足∠AOC-3∠AOF=2∠BOE+∠AOF，试确定∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用补角的定义可得出∠BOC，再利用角平分线的定义可得出∠COE，易得∠DOE；
（2）同理由（1）可得$∠DOE=\frac{1}{2}∠AOC$；
（3）设∠DOE=x，∠AOF=y，根据已知和（2）的结论可得出x-y=45°，从而得出结论．

解答 解：（1）若∠AOC=120°，
则∠BOC=180°-120°=60°，
∵OE平分∠BOC，
∴$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-30°=60°；
若∠AOC=140°，
则∠BOC=180°-140°=40°，
∵OE平分∠BOC，
∴$∠COE=\frac{1}{2}∠BOC=\frac{1}{2}×40°=20°$，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-20°=70°；
故答案为：60°；70°；

（2）$\frac{1}{2}α$；
∵∠AOC=α，
∴∠BOC=180°-α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}∠BOC=90°-\frac{1}{2}α$，
∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=90°-（90$°-\frac{1}{2}α$）=$\frac{1}{2}α$，
故答案为：$\frac{1}{2}α$；

（3）∠DOE-∠AOF=45°．
理由：设∠DOE=x，∠AOF=y，
左边=∠AOC-3∠AOF=2∠DOE-3∠AOF=2x-3y，
右边=2∠BOE+∠AOF=2（90°-x）+y=180°-2 x+y，
∴2x-3y=180-2 x+y  即4x-4y=180°，
∴x-y=45°
∴∠DOE-∠AOF=45°．

点评 此题考查的知识点是角平分线的性质及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．