Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+x+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2（2）（，4）或（，）或（，﹣）（3）（2，1）

【解析】

（1）利用待定系数法转化为解方程组即可．

（2）如图1中，分两种情形讨论①当CP＝CD时，②当DP＝DC时，分别求出点P坐标即可．

（3）如图2中，作CM⊥EF于M，设则（0≤a≤4），根据S四边形CDBF＝S△BCD+S△CEF+S△BEF构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解：（1）由题意

解得

∴二次函数的解析式为

（2）存在．如图1中，

∵C（0，2），

∴CD＝

当CP＝CD时，

当DP＝DC时，

综上所述，满足条件的点P坐标为或或

（3）如图2中，作CM⊥EF于M，

∵B（4，0），C（0，2），

∴直线BC的解析式为设

∴（0≤a≤4），

∵S四边形CDBF＝S△BCD+S△CEF+S△BEF

，

∴a＝2时，四边形CDBF的面积最大，最大值为，

∴E（2，1）．