Question

10．如图，⊙O的直径AB=8，点E在圆外，AE交⊙O于点F，C是圆心上一点，CD⊥AE于点D，AF=2CD=4$\sqrt{2}$．
（1）求BF的长；
（2）求证：CD是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得出∠AFD=90°，然后根据勾股定理即可求得；
（2）连接OC，作OG⊥AE于G，根据垂径定理得出OG垂直平分AF，进而根据三角形中位线定理得出OG=$\frac{1}{2}$BF，即BF=2OG，从而得出OG=CD，根据OG⊥AE，CD⊥AE，得出OG∥CD，从而证得四边形OGDC是矩形，得出OC⊥DC，即可证得结论．

解答 解：（1）∵AB是直径，
∴∠AFD=90°，
∴BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-（4\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{2}$；
（2）连接OC，作OG⊥AE于G，
∴OG垂直平分AF，
∵OA=OB，
∴OG=$\frac{1}{2}$BF，
∴BF=2OG，
∵BF=AF=2CD=4$\sqrt{2}$，
∴OG=CD，
∵OG⊥AE，CD⊥AE，
∴OG∥CD，
∴四边形OGDC是矩形，
∴OC⊥DC，
∴CD是⊙O的切线．

点评 本题考查了圆周角定理，垂径定理，正方形的判定和性质，切线的判定，作出辅助线证得四边形OEDC是矩形是解题的关键．