Question

【题目】如图，是的直径，，为弧的中点，正方形绕点旋转与的两边分别交于、（点、与点、、均不重合），与分别交于、两点.

（1）求证：为等腰直角三角形；

（2）求证：；

（3）连接，试探究：在正方形绕点旋转的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）存在，

【解析】

（1）根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得∠AMB=90°，由M是弧AB的中点得，于是可判断△AMB为等腰直角三角形；

（2）连接OM,根据等腰直角三角形的性质得∠ABM=∠BAM=∠OMA=45°，OM⊥AB，MB=AB=6，再利用等角的余角相等得∠BOE=∠MOF，则可根据“SAS”判断△OBE≌△OMF，所以OE=OF；

（3）易得△OEF为等腰直角三角形，则EF=OE，再由△OBE≌△OMF得BE=MF，所以△EFM的周长=EF+MF+ME=EF+MB=OE+4，根据垂线段最短得当OE⊥BM时，OE最小，此时OE=BM=2，进而求得△EFM的周长的最小值．

（1）证明：是的直径，

．

是弧的中点，

．

，

为等腰直角三角形．

（2）证明：连接，

由（1）得：．

，

．

，

，

．

在和中，

，

．

．

（3）解：的周长有最小值．

，

为等腰直角三角形，

，

，

．

的周长．

当时，最小，此时,

的周长的最小值为．