某数学活动小组在作三角形的拓展图形.研究其性质时.经历了如下过程:(1)如图1所示在等腰△ABC中.AB=AC.分别以AB.AC为斜边.向△ABC的外侧作等腰直角三角形.如图1所示.其中DF⊥AB于点F.EG⊥AC于点G.M是BC的中点.连结MD和ME.求证:①AF=AG=12AB,②MD=ME．(2)在任意△ABC中.仍分别以AB.AC为斜边.向△ABC的内侧作等腰直角三角� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：
（1）如图1所示在等腰△ABC中，AB=AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，求证：
①AF=AG=

AB；
②MD=ME．
（2）在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．（直接写答案，不需要写证明过程）．
（3）在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形,三角形中位线定理

专题：

分析：（1）由等腰直角三角形的性质可以得出E、G分别是AB、AC的中点，就可以得出FM、GM是△ABC的中位线，就可以得出∠BFM=∠BAC=∠CGM．就可以得出△DFM≌△EGM而得出结论；
（2）取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根据三角形的中位线的性质K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论；
（3）取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得出△DFM≌△MGE，根据其性质就可以得出结论．

解答：解：（1）①∵△ADB、△AEC是等腰直角三角形，DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，
∴DF=AF=

AB，EG=AG=

AC，∠DFB=∠EGC=90°．
∵M是BC的中点，
∴FM、GM是△ABC的中位线，
∴FM=

AC，GM=

AB，FM∥AC，GM∥AB，
∴∠BFM=∠BAC，∠BAC=∠CGM，
∴∠BFM=∠CGM，
∴∠BFM+∠DFB=∠CGM+∠EGC，
∴∠DFM=∠EGM．
∵AB=AC，
∴

AB=

AC，
∴AF=AG=

AB；
DF=EG，FM=GM．
②在△DFM和△EGM中，

DF=EG

∠DFM=∠EGM

FM=GM

∴△DFM≌△EGM（SAS）
∴MD=ME．
（2）如图2，取BC、AB和AC的中点M、F、G，连接MF、DF、MG、EG．
∴MF∥AC，MF=

AC，MG∥AB，MG=

AB，
∴四边形MFAG是平行四边形，
∴MG=AF，MF=AG，∠AFM=∠AGM，
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°，
∴MF=EG，DF=MG，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE，
即∠DFM=∠MGE．
在△DFM和△MGE中，

FM=GE

∠DFM=∠MGE

DF=MG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．
∵MG∥AB，
∴∠MHD=∠BFD=90°，
∴∠HMD+∠MDF=90°，
∴∠HMD+∠EMG=90°，
即∠DME=90°，
∴△DME为等腰直角三角形．
（3）MD=ME，
理由：如图1，取AB、AC的中点F、G，连接DF，MF，EG，MG，
∴AF=

AB，AG=

AC．
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF=

AB，EG⊥AC，EG=

AC，
∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．

∵M是BC的中点，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四边形AFMG是平行四边形，
∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴MF=GE，DF=MG，∠AFM+∠AFD=∠AGM+∠AGE，
∴∠DFM=∠MGE．
在△DFM和△MGE中，

FM=GE

∠DFM=∠MGE

DF=MG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME；

点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的中位线的性质、直角三角形的斜边上的中线的性质、平行四边形的判定及性质及运用，解答时根据三角形的中位线的性质构造全等三角形是解答本题的关键．

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