Question

图中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角顶点D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜边AB的中点处，∠A=30°，∠E=45°，∠EDF=∠ACB=90°，DE交AC于点G．
（1）如图1，当DF经过点C时，求证：△BCD为等边三角形．
（2）如图2，当DF经过点C时，作GM⊥AB于M，CN⊥AB于N，求证：AM=DN．
（3）如图3，当DF∥AC

 

时，

 

DF

 

交BC于H，作GM⊥AB于M，HN⊥AB于N，请问结论AM=DN是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等腰三角形中一个角为60°，即可判定等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质可以解本题；
（3）易证△ADG≌△DBH，可证△AMG≌△DNH即可解题．

解答：证明：（1）∵∠A=30°，∠ACB=90°，D是AB的中点．
∴CD=BD，∠B=60°
∴△BCD是等边三角形．

（2）
证明：∵△BCD是等边三角形，CN⊥DB，
∴DN=

1

2

BD
∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形．
∴∠ADG=30°，而∠A=30°．
∴GA=GD．
∵GM⊥AB
∴AM=

1

2

AD，
又∵AD=DB
∴AM=DN  
（3）
∵DF∥AC
∴∠BDH=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°，
∴∠ADG=60°
∴∠ADG=∠B=60°．
在△ADG和△DBH中，

∠ADG=∠B AD=DB ∠A=∠BDH

，
∴△ADG≌△DBH（ASA）
∴AG=DH，
又∵∠BDH=∠A，GM⊥AB，HN⊥AB，
∴∠AMG=∠DNH
在△AMG和△DNH中，

∠A=∠BDH ∠AMG=∠DNH AG=DH

，
∴△AMG≌△DNH（AAS）．
∴AM=DN．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ADG≌△DBH是解题的关键．