Question

9．已知：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．
（1）如图1，当A（0，-3），C（1，0），点B在第四象限时，则点B的坐标为（4，-1）；
（2）如图2，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴上运动，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断$\frac{OC+BD}{OA}$与$\frac{OC-BD}{OA}$哪一个是定值，并说明定值是多少？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）过B作BE⊥x轴于E，推出∠2=∠OAC，∠AOC=∠BEC，根据AAS证△AOC≌△CEB，推出OA=CE，OC=BE，根据A、C的坐标即可求出答案；
（2）作BE⊥x轴于E，得出矩形OEBD，推出BD=OE，证△CEB≌△AOC，推出AO=CE，求出OC-BD=OA，代入求出即可．

解答 （1）解：如图1，过B作BE⊥x轴于E，
则∠BEC=∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠1+∠OAC=90°，
∴∠2=∠OAC，
在△AOC和△CEB中
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠CEB}\\{∠OAC=∠2}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△AOC≌△CEB（AAS），
∴OA=CE，OC=BE，
∵A（0，-3），C（1，0），
∴OA=CE=3，OC=BE=1，
∴OE=1+3=4，
∴点B的坐标为（  4，-1 ），
故答案为；4；

（2）结论：$\frac{OC-BD}{OA}$=1，
证明：如图2，作BE⊥x轴于E，
∴∠1=90°=∠2，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠5+∠3=90°，
∴∠5=∠4，
在△CEB和△AOC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠4=∠5}\\{CB=AC}\end{array}\right.$
∴△CEB≌△AOC，
∴AO=CE，
∵BE⊥x轴于E，
∴BE∥y轴，
∵BD⊥y轴于点D，EO⊥y轴于点O，
∴BD∥OE，
∴四边形OEBD是矩形，
∴EO=BD，
∴OC-BD=OC-EO=CE=AO，
∴$\frac{OC-BD}{OA}$=1．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质，等腰直角三角形性质，主要考查学生运用定理进行推理和计算，题目比较好．