Question

如图：抛物线y=-x²+4x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P在抛物线上∠ACB=∠BCP，求P点的坐标．?

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：过点C作CE⊥y轴，过点P作PD⊥CE交CE于点D，由抛物线y=-x²+4x-3与x轴交于A、B两点，可得A，B的坐标，进而得出OA=1，OB=3，由∠BCO=45°，得∠BCD=45°，由∠ACB=∠BCP，可得∠PCD=∠ACO，由tan∠ACO=

1

3

，可得tan∠PCD=

1

3

，设点P（x，-x²+4x-3），可得PD，CD的值，所以

-x2+4x

x

=

1

3

，解得x=

11

3

，即可得出点P的坐标．

解答：解：过点C作CE⊥y轴，过点P作PD⊥CE交CE于点D，

∵抛物线y=-x²+4x-3与x轴交于A、B两点，
∴A的坐标为（1，0），B（3，0）
∴OA=1，OB=3，
令-x²+4x-3=0得C（0，-3），
∴OC=3，
∴∠BCO=45°，
∴∠BCD=45°
∵∠ACB=∠BCP，
∴∠PCD=∠ACO，
∵tan∠ACO=

OA

OC

=

1

3

，
∴tan∠PCD=

PD

CD

=

1

3

，
设点P（x，-x²+4x-3），
PD=-x²+4x-3+3=-x²+4x，CD=x，
∴

-x2+4x

x

=

1

3

，解得x=

11

3

，
∴P（

11

3

，-

16

9

），

点评：本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是正确作出辅助线，运用正切求解．