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【题目】四边形ABCD中,AB=BCB=∠C=90°PBC边上一点,APPDEAB边上一点,BPE=∠BAP

1 如图1,若AE=PE,直接写出=______

2 如图2,求证:AP=PDPE

3 如图3,当AE=BP时,连BD,则=______,并说明理由.

【答案】1;(2)证明见解析;(3

【解析】

1)首先证明∠PAB=30°,设PB=a,可得AB=BCa,求出PC即可解决问题;

2)如图2中,延长DPAB的延长线于M,作MNDCDC的延长线于N.首先证明PE=PM,再证明△ABP≌△MNDASA)即可解决问题;

3)如图3,延长DPAB的延长线于M,作MNDCDC的延长线于N.首先证明DN=PB=AEEB=BM=CN,设AE=PB=DN=xEB=BM=CN=y,求出PEBD即可解决问题.

1)如图1

AE=PE,∴∠EAP=EPA

∵∠EPB=PAE,∴∠EPB=PAE=EPA

∵∠B=90°,∴∠PAB+APB=90°,∴3PAE=90°,∴∠PAE=30°.

PB=a,则AB=BCa,∴PC=BCPBaa,∴1

故答案为:

2)如图2,延长DPAB的延长线于M,作MNDCDC的延长线于N

APDM,∴∠APM=PBM=90°.

∵∠PAE+APB=90°,∠APB+BPM=90°,∴∠PAE=BPM

∵∠EPB=PAE,∴∠EPB=BPM

∵∠EPB+PEB=90°,∠BPM+PMB=90°,∴∠PEB=PMB,∴PE=PM

∵∠CBM=BCN=N=90°,∴四边形BCNM是矩形,∴BC=MN=ABBCMN,∴∠DMN=BPM=PAB

∵∠ABP=N=90°,∴△ABP≌△MNDASA),∴PA=DM

DM=DP+PM=DP+PE,∴PA=DP+PE

3)如图3,延长DPAB的延长线于M,作MNDCDC的延长线于N

由(2)可知:PE=PM,△ABP≌△MND,四边形BCNM是矩形,∴PB=DN,设PB=DN=x,∴AE=PB=DN=x

PE=PMPBEM,∴EB=BM

BM=CN,∴BE=BM=CN,设BE=BM=CN=y,则CD=xyBC=AB=x+y

RtPBE中,PE.在RtDCB中,BD,∴

故答案为:

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