【题目】四边形ABCD中,AB=BC,∠B=∠C=90°,P是BC边上一点,AP⊥PD,E是AB边上一点,∠BPE=∠BAP.
(1) 如图1,若AE=PE,直接写出=______;
(2) 如图2,求证:AP=PD+PE;
(3) 如图3,当AE=BP时,连BD,则=______,并说明理由.
【答案】(1);(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)首先证明∠PAB=30°,设PB=a,可得AB=BCa,求出PC即可解决问题;
(2)如图2中,延长DP交AB的延长线于M,作MN⊥DC交DC的延长线于N.首先证明PE=PM,再证明△ABP≌△MND(ASA)即可解决问题;
(3)如图3,延长DP交AB的延长线于M,作MN⊥DC交DC的延长线于N.首先证明DN=PB=AE,EB=BM=CN,设AE=PB=DN=x,EB=BM=CN=y,求出PE,BD即可解决问题.
(1)如图1.
∵AE=PE,∴∠EAP=∠EPA.
∵∠EPB=∠PAE,∴∠EPB=∠PAE=∠EPA.
∵∠B=90°,∴∠PAB+∠APB=90°,∴3∠PAE=90°,∴∠PAE=30°.
设PB=a,则AB=BCa,∴PC=BC﹣PBa﹣a,∴1.
故答案为:.
(2)如图2,延长DP交AB的延长线于M,作MN⊥DC交DC的延长线于N.
∵AP⊥DM,∴∠APM=∠PBM=90°.
∵∠PAE+∠APB=90°,∠APB+∠BPM=90°,∴∠PAE=∠BPM.
∵∠EPB=∠PAE,∴∠EPB=∠BPM.
∵∠EPB+∠PEB=90°,∠BPM+∠PMB=90°,∴∠PEB=∠PMB,∴PE=PM.
∵∠CBM=∠BCN=∠N=90°,∴四边形BCNM是矩形,∴BC=MN=AB,BC∥MN,∴∠DMN=∠BPM=∠PAB.
∵∠ABP=∠N=90°,∴△ABP≌△MND(ASA),∴PA=DM.
∵DM=DP+PM=DP+PE,∴PA=DP+PE.
(3)如图3,延长DP交AB的延长线于M,作MN⊥DC交DC的延长线于N.
由(2)可知:PE=PM,△ABP≌△MND,四边形BCNM是矩形,∴PB=DN,设PB=DN=x,∴AE=PB=DN=x.
∵PE=PM,PB⊥EM,∴EB=BM.
∵BM=CN,∴BE=BM=CN,设BE=BM=CN=y,则CD=x﹣y,BC=AB=x+y.
在Rt△PBE中,PE.在Rt△DCB中,BD,∴.
故答案为:.
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【题目】将正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2按如图所示方式放置,点A1,A2,A3,…和点C1,C2,C3,…分别在直线和x轴上,则点B2019的横坐标是______.
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【题目】休闲广场的边缘是一个坡度为i=1:2.5的缓坡CD,靠近广场边缘有一架秋千.秋千静止时,底端A到地面的距离AB=0.5m,B到缓坡底端C的距离BC=0.7m.若秋千的长OA=2m,则当秋千摆动到与静止位置成37°时,底端A′到坡面的竖直方向的距离A′E约为( )(参考数据:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75)
A. 0.4mB. 0.5mC. 0.6mD. 0.7m
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【题目】某高中学校为使高一新生入校后及时穿上合身的校服,现提前对某校九年级(3)班学生即将所穿校服型号情况进行了摸底调查,并根据调查结果绘制了如图两个不完整的统计图(校服型号以身高作为标准,共分为6种型号).
根据以上信息,解答下列问题:
(1)该班共有多少名学生?其中穿175型校服的学生有多少人?
(2)在条形统计图中,请把空缺的部分补充完整;
(3)在扇形统计图中,请计算185型校服所对应扇形圆心角的大小;
(4)求该班学生所穿校服型号的众数和中位数.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,点P为△ABC内一点,∠APB=∠BAC=120°.若AP+BP=4,则PC的最小值为( )
A. 2B. C. D. 3
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【题目】体育组为了了解九年级450名学生排球垫球的情况,随机抽查了九年级部分学生进行排球垫球测试(单位:个),根据测试结果,制成了下面不完整的统计图表:
(1)表中的数a= ,b= ;
(2)估算该九年级排球垫球测试结果小于10的人数;
(3)排球垫球测试结果小于10的为不达标,若不达标的5人中有3个男生,2个女生,现从这5人中随机选出2人调查,试通过画树状图或列表的方法求选出的2人为一个男生一个女生的概率.
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【题目】某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克,大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元.大樱桃售价为每千克40元,小樱桃售价为每千克16元.
(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元?销售完后,该水果商共赚了多少元钱?
(2)该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克,进价不变,但在运输过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变,要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%,大樱桃的售价最少应为多少?
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4,动点P从点A出发,沿AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动.过点P作PD⊥AC于点D(点P不与点A、B重合),作∠DPQ=60°,边PQ交射线DC于点Q.设点P的运动时间为t秒.
(1)用含t的代数式表示线段DC的长;
(2)当点Q与点C重合时,求t的值;
(3)设△PDQ与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与t之间的函数关系式;
(4)当线段PQ的垂直平分线经过△ABC一边中点时,直接写出t的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x2—7x+12=0的两根(OA<0B),动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.
(1)求A、B两点的坐标。
(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似,并直接写出此时点Q的坐标.
(3)当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
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