Question

【题目】综合与实践

问题情境

在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动.

操作发现

“毕达哥拉斯”小组的同学想到借助正方形网格解决问题.如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.在图1中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形BDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点C、A，他们借助此图求出了△ABC的面积.

（1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB= ，BC= ，AC= ； △ABC的面积为 .

实践探究

（2）在图2所示的正方形网格中画出△DEF（顶点都在格点上），使DE=，DF=， EF=，并写出△DEF的面积.

继续探究

“秦九韶”小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料： 已知三角形的三边长分别为a、b、c，求其面积，对此问题中外数学家曾经进行过深入研究.古希腊的几何学家海伦(Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式：

我国南宋时期数学家秦九韶（约1202 ~1261），给出了著名的秦九韶公式：

（3）一个三角形的三边长依次为，，，请你从上述材料中选用适当的公式 求这个三角形的面积.（写出计算过程）

Answer 1

【答案】（1），，，；（2）图见解析；△DEF的面积为4；（3）.

【解析】

（1）利用勾股定理计算△ABC的三边长；利用△ABC所在正方形的面积减去周围直角三角形的面积可求其面积；

（2）仿照“毕达哥拉斯”小组的方法利用勾股定理在正方形网格中画出△DEF，并利用割补法求其面积即可；

（3）利用秦九韶公式，代入求值即可.

解：（1），，，

△ABC的面积＝，

故答案为：，，，；

（2）△DEF如图所示，

△DEF的面积＝；

（3）将，，代入秦九韶公式，

得

.