Question

如图，抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标；
（2）P是线段BC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值是多少？
（3）探究坐标轴上是否存在点F，使得以F、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法将A（-1，0）、B（3，0），C（0，-3），代入y=ax²+bx+c，求出二次函数解析式即可，然后利用配方法直接求出顶点坐标即可；
（2）首先求出BC的解析式，然后设出P点横坐标为m，表示出PE的长度，求出最大值；
（3）根据相似三角形的判定方法分别得出即可．

解答：解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
由抛物线与y轴交于点C（0，-3），可知c=-3．
即抛物线的解析式为y=ax²+bx-3把A（-1，0）、B（3，0）代入，
得

a-b-3=0 9a+3b-3=0

，
解得

a=1 b=-2

，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
∵y=x²-2x-3=（x²-2x+1）-4，
=（x-1）²-4，
∴顶点D的坐标为（1，-4）；

（2）∵B（3，0），C（0，-3），
∴BC的解析式为：y=x-3，
设P点横坐标为m，
则P点纵坐标为m-3，E点纵坐标为m²-2m-3，
PE=m-3-（m²-2m-3）=-m²+3m=-（m-

3

2

）²+

9

4

，
当m=

3

2

时，PE有最大值

9

4

；

（3）连接AC，
易得：CD=

2

，BC=3

2

，BD=2

5

，
则有CD²+CB²=BD²，
可知Rt△COA∽Rt△BCD，得符合条件的点为O（0，0）
过A作AF₁⊥AC交y轴正半轴于F₁，可知Rt△CAF₁∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为F₁（0，

1

3

），
过C作CF₂⊥AC交x轴正半轴于F₂，可知Rt△F₂CA∽Rt△COA∽Rt△BCD，
求得符合条件的点为F₂（9，0）．
综上所述：符合条件的点有三个：（0，0），F₁（0，

1

3

），F₂（9，0）．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定等知识，相似三角形与二次函数经常结合出综合题目，所以同学们学要对这些知识熟练地掌握才能正确的解答．