Question

18．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，∠A，∠B的平分线相交于点O，则O到AB的距离为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先证明OD=OE=OF（设为λ）；其次运用勾股定理求出AB的长；根据S_△ABC=S_△AOB+S_△AOC+S_△BOC，列出关于λ的方程，求出λ即可解决问题．

解答 解：如图，过点O作OD⊥AB、OE⊥AC、OF⊥BC；
∵AO、BO分别是∠A，∠B的平分线，
∴OE=OD，OF=OD，
∴OD=OE=OF（设为λ）；
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴由勾股定理得：AB=5；
由三角形的面积公式得：
$\frac{1}{2}AC•BC=\frac{1}{2}AB•λ+\frac{1}{2}AC•λ+\frac{1}{2}BC•λ$，
解得：λ=1，
故选B．

点评 该题主要考查了三角形角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识点及其应用问题；解题的关键是作辅助线，将△ABC分割为三个小三角形，运用三角形的面积公式列出关于λ的方程，然后求解．