【题目】如图，两个30°的角BAC与角MON，顶点A在射线ON上某处，现保持角MON不动，将角BAC绕点A以每秒15°的速度顺时针旋转，边AB、AC分别与边OM交于点P、Q，当AC∥OM时，交点Q消失旋转结束。设运动时间为t秒（t>0）.
（1）当t=2秒时，OP:PQ= ；
（2）在运动的过程中，△APQ能否成为等腰三角形？若能，请利用备用图，直接写出此时的运动时间；
（3）在（2）中判断△OAQ的形状，并选择其中的一个说明理由.
【答案】（1）2:1；
（2）当t=3s或6s时，△APQ为等腰三角形；
（3）△OAQ为等腰三角形，理由见解析.
【解析】
（1）当t=2秒时，∠PAO=30°，∠PQA=90°,根据等角对等边定理和30度角所对直角边等于斜边的一半可得出结论；
（2）先求出t的取值范围，然后分三种情况讨论，当△APQ为等腰三角形时∠PAO的大小，并进而得到t的值；
（3）由（2）得到t的值，代入求得△OAQ的内角度数，从而判断△OAQ的形状。
解：（1）如图1，
当t=2秒时，∠PAO=30°，
∵∠MON=∠BAC=30°
∴∠PAO=∠MON, ∠PQA=90°,
∴OP=AP,PQ=
AP，
∴OP:PQ= 2:1；
故答案为：2:1；
（2）当AC∥OM时，∠NAC=∠O=
，
∴∠OAB=
∴t=
∴0＜t＜8，
分三种情况： AP=AQ 、AP=PQ和QP=QA，
①当AP=AQ时，
∠APQ=∠AQP=
∴∠PAO=∠APQ-∠O=
∴t=
；
②当AP=PQ时，
∠APQ=
∴∠PAO=∠APQ-∠O=
∴t=
；
③当QP=QA时，
∠APQ=∠PAQ=
∴∠PAO=∠APQ-∠O=
即t=0s(舍去)
综上所述，当t=3s或6s时，△APQ为等腰三角形；
（3）当t=3s或6s时，△OAQ为等腰三角形,
理由是：
当t=3s时，∠OAP=45°，∠PAQ=30°，
∴∠OAQ=75°，
又∠AQP=75°，
∴OA=OQ,即△APQ为等腰三角形.
当t=6s时，∠OAP=90°，∠PAQ=30°，
∴∠OAQ=120°，
又∠AOQ=30°，
∴∠OQA=30°
∴OA=AQ,即△APQ为等腰三角形.
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【题目】（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M．
（1）求此抛物线的解析式和对称轴；
（2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
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【题目】如图， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点
从
出发以每秒2个单位长度的速度向
运动；点
从
同时出发，以每秒1个单位长度的速度向
运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点
作
垂直
轴于点
，连结AC交NP于Q，连结MQ．
【1】点 （填M或N）能到达终点；
【1】求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
【1】是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，
说明理由．
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【题目】如图，点A在双曲线y=
上，点B在双曲线y=
(k≠0)上，AB∥x轴，过点A作AD⊥x轴于D.连接OB，与AD相交于点C，若AC=2CD，则k的值为( )
A. 6 B. 9 C. 10 D. 12
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【题目】已知，△ABC是等边三角形，如图①，点D、E分别在射线BA、BC上，且AD=CE，求证：△BDE是等边三角形；
（2）如图②，点D在BA边上，点E在射线BC上，AD=CE，连接DE交AC于点F，请问DF与EF的数量关系是什么？并说明理由.
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【题目】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx-1（x＞0）的图象交矩形OABC的边AB于点D，交边BC于点E，且BE=2EC．若四边形ODBE的面积为6，则k=_______．
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【题目】曲阜限制“三小车辆”出行后，为方便市民出行，准备为
、
、
、
四个村建一个公交车站
.
（1）请问：公交站建在何处才能使它到4个村的距离之和
最小，请在图一中找出点；
（2）请问：公交站建在何处才能使它到道路
、
、
的距离相等，请在图二中找出点并加以说明.
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【题目】（1）阅读理解：
如图①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围.
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)，把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断.中线AD的取值范围是___________；
(2)问题解决: 如图②，在△ABC中,D是BC边上的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF,求证:BE+CF＞EF；
(3)问题拓展:如图③,在四边形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,以C为顶点作∠ECF,使得角的两边分别交AB,AD于E、F两点,连接EF,且EF=BE+DF，试探索∠ECF与∠A之间的数量关系,并加以证明.
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【题目】已知一列数：1，－2，3，－4，5，－6，7…将这列数排成下列形式：
第1行 1
第2行 －2 3
第3行 －4 5 －6
第4行 7 －8 9 －10
第5行 11 －12 13 －14 15
……
按照上述规律排列下去，则第50行的最后一个数是___________，2019这个数在第___行，从左往右是第_____个数．
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