Question

3．已知A（-3，0），C（0，4），点B在x轴上，且AB=4．
（1）求点B的坐标，在平面直角坐标系中画出△ABC，并求出△ABC的面积．
（2）在y轴上是否存在点P，使得以A、C、P三点为顶点的三角形的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在y轴上是否存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形？若存在请画出点Q所在位置，并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A（-3，0），C（0，4），点B在x轴上，且AB=4，可知点B的横坐标与点A的横坐标的差的绝对值为4，从而可以求得点B的坐标，从而可以求得△ABC的面积．
（2）根据题意可知点P在点C的上方或者下方，从而可以求得点P的坐标．
（3）根据已知条件可以将各种情况在坐标系中表示出来，从而可以直接写出点的坐标．

解答 解：（1）∵A（-3，0），C（0，4），点B在x轴上，且AB=4，
∴设点B的坐标为（x，0），|x-（-3）|=4．
解得，x=-7或x=1．
∴点B的坐标为（-7，0）或（1，0）．
在平面直角坐标系中画出△ABC，如下图所示：

∴${S}_{△A{B}_{1}C}=\frac{[（-3）-（-7）]×4}{2}=8$，${S}_{△A{B}_{2}C}=\frac{[1-（-3）]×4}{2}=8$．
即△ABC的面积为8．
（2）在y轴上存在点P，使得以A、C、P三点为顶点的三角形的面积为9．
设点P的坐标为（0，y），
由题意可知点P可能在点C的上方或下方．
当点P在点C上方时，${S}_{△ACP}=\frac{（y-4）×|-3|}{2}=9$，
解得，y=10．
当点P在C点下方时，${S}_{△ACP}=\frac{（4-y）×|-3|}{2}=9$，
解得，y=-2．
由上可得，点P的坐标为（0，10）或（0，-2）．
（3）在y轴上存在点Q，使得△ACQ是等腰三角形．
如下图所示：

使得△ACQ是等腰三角形，由图可知：点Q的坐标为：（0，9），（0，-4），（0，$\frac{7}{8}$），（0，-1）．

点评 本题考查坐标与图形的性质、三角形的面积、等腰三角形的判定，解题的关键是能根据图形写出各点的坐标，能根据坐标求出相应图形的面积，利用数学中分类讨论的思想考虑问题要全面．