Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B（4,5），抛物线+b+c经过A、B两点

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是线段AB上的一点（不与A、B重合），过M作轴的垂线交抛物线与点N，求线段MN的最大值，并求出点M、N的坐标；

（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P，使得⊿PMN是以MN为直角边的直角三角形？若存在求出点P的坐标，若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）-2-3；（2）MN的最大值为，M、N的坐标分别为M(), N的坐标为N() ；（3）,,

【解析】

（1）直接把A、B两点的坐标代入抛物线，即可求出解析式；

（2）先求出直线AB的解析式，然后设点M为（x，x+1），N（），然后得到MN，结合二次函数的性质，即可求出MN的最大值；

（3）根据题意，可分为：①当以点M为直角三角形的顶点时；②当以点N为直角三角形的顶点时；结合点M、N的纵坐标，即可求出点P的坐标．

解：（1）∵抛物线经过A(-1,0)、B（4,5）两点，

∴，

解得：b=，c=，

∴抛物线的解析式：；

（2）∵直线AB经过A(-1,0)、B（4,5）两点，设，

∴得方程组解得：k=1 ，b=1 ，

∴直线AB的解析式为；

设M的坐标为M(), N的坐标为N()，

MN=；

∴当时，MN的最大值为，

∴，，

∴M、N的坐标分别为M()，N的坐标为N() ；

（3）在抛物线上是存在点P，使得△PMN是以MN为直角边的直角三角形；

理由如下：如图，

①当以点M为直角三角形的顶点时，，

∴，

解得：=，=；

②当以点N为直角三角形的顶点时，，

∴，

解得：，=（舍去）；

∴点P的坐标分别为：，，．