【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(4,5),抛物线+b
+c经过A、B两点
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是线段AB上的一点(不与A、B重合),过M作轴的垂线交抛物线与点N,求线段MN的最大值,并求出点M、N的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点P,使得⊿PMN是以MN为直角边的直角三角形?若存在求出点P的坐标,若不存在请说明理由.
【答案】(1)-2
-3;(2)MN的最大值为
,M、N的坐标分别为M(
), N的坐标为N(
) ;(3)
,
,
【解析】
(1)直接把A、B两点的坐标代入抛物线,即可求出解析式;
(2)先求出直线AB的解析式,然后设点M为(x,x+1),N(),然后得到MN,结合二次函数的性质,即可求出MN的最大值;
(3)根据题意,可分为:①当以点M为直角三角形的顶点时;②当以点N为直角三角形的顶点时;结合点M、N的纵坐标,即可求出点P的坐标.
解:(1)∵抛物线经过A(-1,0)、B(4,5)两点,
∴,
解得:b=,c=
,
∴抛物线的解析式:;
(2)∵直线AB经过A(-1,0)、B(4,5)两点,设,
∴得方程组解得:k=1 ,b=1 ,
∴直线AB的解析式为;
设M的坐标为M(), N的坐标为N(
),
MN=;
∴当时,MN的最大值为
,
∴,
,
∴M、N的坐标分别为M(),N的坐标为N(
) ;
(3)在抛物线上是存在点P,使得△PMN是以MN为直角边的直角三角形;
理由如下:如图,
①当以点M为直角三角形的顶点时,,
∴,
解得:=
,
=
;
②当以点N为直角三角形的顶点时,,
∴,
解得:,
=
(舍去);
∴点P的坐标分别为:,
,
.
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【题目】如图1,在△ABC中,AB=BC,点D、E分别在边BC,AC上,连接DE,且DE=DC.
(1)问题发现:若∠ACB=∠ECD=45°,则= .
(2)拓展探究:若∠ACB=∠ECD=30°,将△EDC饶点C按逆时针旋转α度(0°<α<180°),图2是旋转过程中的某一位置,在此过程中的大小有无变化?如果不变,请求出
的值,如果变化,请说明理由;
(3)问题解决:若∠ABC=∠EDC=β(0°<β<90°),将△EDC旋转到如图3所示的位置时,则的值为 .(用含β的式子表示)
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【题目】已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点,设O为坐标原点.
(1)求∠ABO的正切值;
(2)如果点A向左平移12个单位到点C,直线l过点C且与直线平行,求直线l的解析式.
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【题目】某校为了了解学生家长对孩子使用手机的态度情况,随机抽取部分学生家长进行问卷调查,发出问卷140份,每位学生的家长1份,每份问卷仅表明一种态度.将回收的问卷进行整理(假设回收的问卷都有效),并绘制了如下两幅不完整的统计图.
学生家长对孩子使用手机的态度情况统计图
根据以上信息回答下列问题:
(1)回收的问卷数为 份,“严加干涉”部分对应扇形的圆心角度数为 ;
(2)把条形统计图补充完整;
(3)若将“稍加询问”和“从来不管”视为“管理不严”,已知全校共1500名学生,请估计该校对孩子使用手机“管理不严”的家长大约有多少人?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数(k≠0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点,与y轴交于点C,过点B作BM⊥x轴,垂足为M,BM=OM,OB=
,点A的纵坐标为4.
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式;
(2)连接AO,求△AOB的面积.
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【题目】某学校准备组织八年级学生春游,供学生选择的春游地点分别是:植物园、太阳岛、东北虎林园.每名学生只能选择其中一个春游地点(必选且只选一个).该校从八年级学生中随机抽取了a名学生,对他们选择春游地点的情况进行调查,并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图.
(1)求a的值.
(2)求a名学生中选择去植物园春游的人数占所抽取人数的百分比是多少?
(3)如果该校八年级有440名学生,请你估计选择去太阳岛春游的学生有多少名?
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【题目】为了解九年级学生的体能状况,从我校九年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级,请根据两幅图中的信息回答下列问题:
(1)求本次测试共调查了 名学生,补全条形统计图;
(2)B等级人数对应扇形统计图的圆心角的大小为 ;
(3)我校九年级共有2100名学生,请你估计九年级学生中体能测试结果为C等级的学生有多少人?
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【题目】小明想用镜子测量一棵松树的高度,但因树旁有一条河,不能测量镜子与树之间的距离,于是他两次利用镜子,如图所示,第一次他把镜子放在C点,人在F点时正好在镜子中看到树尖A;第二次把镜子放在D点,人在G点正好看到树尖A.已知小明的眼睛距离地面1.70m,量得CD=12m,CF=1.8m,DH=3.8m.请你求出松树的高.
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