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【题目】如图1,在△ABC中,ABBC,点DE分别在边BCAC上,连接DE,且DEDC

1)问题发现:若∠ACB=∠ECD45°,则  

2)拓展探究:若∠ACB=∠ECD30°,将△EDC饶点C按逆时针旋转α度(0°<α180°),图2是旋转过程中的某一位置,在此过程中的大小有无变化?如果不变,请求出的值,如果变化,请说明理由;

3)问题解决:若∠ABC=∠EDCβ0°<β90°),将△EDC旋转到如图3所示的位置时,则的值为  .(用含β的式子表示)

【答案】1;(2)不变化,理由详见解析;(32cosβ

【解析】

1)如图1,过EEFABF,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC45°,于是得到∠B=∠EDC90°,推出四边形EFBD是矩形,得到EFBD,推出AEF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到结论;

2)根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED30°,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论;

3)根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CEDβ,根据相似三角形的性质得到,即,根据角的和差得到∠ACE=∠BCD,求得ACE∽△BCD,证得,过点BBFAC于点F,则AC2CF,根据相似三角形的性质即可得到结论.

解:(1)如图1,过EEFABF

BABCDEDC,∠ACB=∠ECD45°,

∴∠A=∠C=∠DEC45°,

∴∠B=∠EDC90°,

∴四边形EFBD是矩形,

EFBD

EFBC

∴△AEF是等腰直角三角形,

故答案为:

2)此过程中的大小有变化,

由题意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED30°,

∴△ABC∽△EDC

,即

又∠ECD+ECB=∠ACB+ECB

∴∠ACE=∠BCD

∴△ACE∽△BCD

在△ABC中,如图2,过点BBFAC于点F

AC2CF

RtBCF中,CFBCcos30°=BC

ACBC

3)由题意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,且∠ACB=∠ECDβ

∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CEDβ

∴△ABC∽△EDC

,即

又∠ECD+ECB=∠ACB+ECB

∴∠ACE=∠BCD

∴△ACE∽△BCD

在△ABC中,如图3,过点BBFAC于点F,则AC2CF

RtBCF中,CFBCcosβ

AC2BCcosβ

2cosβ

故答案为2cosβ

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