【题目】如图1,在△ABC中,AB=BC,点D、E分别在边BC,AC上,连接DE,且DE=DC.
(1)问题发现:若∠ACB=∠ECD=45°,则= .
(2)拓展探究:若∠ACB=∠ECD=30°,将△EDC饶点C按逆时针旋转α度(0°<α<180°),图2是旋转过程中的某一位置,在此过程中的大小有无变化?如果不变,请求出的值,如果变化,请说明理由;
(3)问题解决:若∠ABC=∠EDC=β(0°<β<90°),将△EDC旋转到如图3所示的位置时,则的值为 .(用含β的式子表示)
【答案】(1);(2)不变化,理由详见解析;(3)2cosβ.
【解析】
(1)如图1,过E作EF⊥AB于F,根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C=∠DEC=45°,于是得到∠B=∠EDC=90°,推出四边形EFBD是矩形,得到EF=BD,推出△AEF是等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质得到结论;
(2)根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论;
(3)根据等腰三角形的性质得到∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β,根据相似三角形的性质得到,即,根据角的和差得到∠ACE=∠BCD,求得△ACE∽△BCD,证得,过点B作BF⊥AC于点F,则AC=2CF,根据相似三角形的性质即可得到结论.
解:(1)如图1,过E作EF⊥AB于F,
∵BA=BC,DE=DC,∠ACB=∠ECD=45°,
∴∠A=∠C=∠DEC=45°,
∴∠B=∠EDC=90°,
∴四边形EFBD是矩形,
∴EF=BD,
∴EF∥BC,
∴△AEF是等腰直角三角形,
∴,
故答案为:;
(2)此过程中的大小有变化,
由题意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,
∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=30°,
∴△ABC∽△EDC,
∴,即,
又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB,
∴∠ACE=∠BCD,
∴△ACE∽△BCD,
∴,
在△ABC中,如图2,过点B作BF⊥AC于点F,
则AC=2CF,
在Rt△BCF中,CF=BCcos30°=BC,
∴AC=BC.
∴=;
(3)由题意知,△ABC和△EDC都是等腰三角形,且∠ACB=∠ECD=β,
∴∠ACB=∠CAB=∠ECD=∠CED=β,
∴△ABC∽△EDC,
∴,即,
又∠ECD+∠ECB=∠ACB+∠ECB,
∴∠ACE=∠BCD,
∴△ACE∽△BCD,
∴,
在△ABC中,如图3,过点B作BF⊥AC于点F,则AC=2CF,
在Rt△BCF中,CF=BCcosβ,
∴AC=2BCcosβ.
∴=2cosβ,
故答案为2cosβ.
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【题目】先阅读,再填空解题:
(1)方程:的根是:________,________,则________,________.
(2)方程的根是:________,________,则________,________.
(3)方程的根是:________,________,则________,________.
(4)如果关于的一元二次方程(且、、为常数)的两根为,,
根据以上(1)(2)(3)你能否猜出:,与系数、、有什么关系?请写出来你的猜想并说明理由.
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【题目】已知点A(﹣3,y1),B(2,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上,点P(m,n)是该抛物线的顶点,若y1>y2≥n,则m的取值范围是( )
A.﹣3<m<2B.﹣<m<-C.m>﹣D.m>2
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【题目】将一矩形纸片放在直角坐标系中,为原点,在轴上,,.
(1)如图①,在上取一点,将沿折叠,使点落在边上的点,求点的坐标;
(2)如图②,在、边上选取适当的点、,将沿折叠,使点落在边上点,过作交于点,交于点,设的坐标为,求与之间的函数关系式,并直接写出自变量的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若,求的面积.(直接写出结果即可)
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【题目】在中, 是直线上的一点,连接过点作交直线于点.
当点在线段上时,如图①,求证:;
当点在直线上移动时,位置如图②、图③所示,线段与之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.
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【题目】如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),抛物线与x轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论
①a-b+c>0;②3a+b=0;
③b2=4a(c-n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.
其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,平面直角坐标系中,抛物线y=x2﹣2x与x轴交于O、B两点,顶点为P,连接OP、BP,直线y=x﹣4与y轴交于点C,与x轴交于点D.
(1)写出点B坐标;判断△OBP的形状;
(2)将抛物线沿对称轴平移m个单位长度,平移的过程中交y轴于点A,分别连接CP、DP;
(i)若抛物线向下平移m个单位长度,当S△PCD= S△POC时,求平移后的抛物线的顶点坐标;
(ii)在平移过程中,试探究S△PCD和S△POD之间的数量关系,直接写出它们之间的数量关系及对应的m的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,正方形的位置如图所示,点的坐标为,点的坐标为,延长交轴于点,作正方形;延长交轴于点,作正方形;…,按照这样的规律作正方形,则点的纵坐标为__________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B(4,5),抛物线+b+c经过A、B两点
(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是线段AB上的一点(不与A、B重合),过M作轴的垂线交抛物线与点N,求线段MN的最大值,并求出点M、N的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点P,使得⊿PMN是以MN为直角边的直角三角形?若存在求出点P的坐标,若不存在请说明理由.
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