Question

如图，在△ABF与△ACB中，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E，求证：∠C=∠ABF．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：证明题

分析：先利用垂直的定义得到∠C+∠CAE=90°，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AFD=90°，则∠ADF+∠DAF=90°，则利用等角的余角相等得∠ADF=∠C，然后根据圆周角定理可得∠ABF=∠ADF，
则利用等量代换即可得到∠C=∠ABF．

解答：证明：连结DF，如图，
∵AD⊥BC，
∴∠C+∠CAE=90°，
∵AD为直径，
∴∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠ADF=∠C，
∵∠ABF=∠ADF，
∴∠C=∠ABF．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．